Matematičko očekivanje i disperzija

Do sada smo se upoznali sa slučajnim promenljivim pomoću njihovih zakona, funkcija i gustina raspodele. To su funkcionalne karakteristike slučajnih promenljivih i one jednoznačno određuju slučajnu promenljivu.

Polazeći od navedenih funkcionalnih karakteristika, možemo izračunati neke numeričke (brojčane) karakteristike slučajne promenljive, koje se koriste u velikoj meri i na osnovu njih donosimo izvesne zaključke o proučavanim slučajnim promenljivim (umesto cele raspodele praktično koristimo samo jedan broj). U najvažnije numeričke karakteristike slučajne promenljive spadaju matematičko očekivanje i disperzija .

Definicija: Neka je X diskretna slučajna promenljiva data zakonom raspodele

Matematičko očekivanje promenljive X, u oznaci E(X), definiše se kao:

pod uslovom da suma 𝐸(𝑋) = ∑𝑘 |𝑎𝑘| ∗ 𝑝𝑘 postoji. U slučaju kad ovaj zbir ne postoji, smatramo da matematičko očekivanje nije definisano.

Definicija: Ako je X neprekidna slučajna promenljiva sa gustinom raspodele p, njeno matematičko očekivanje definisano je sa:

pod uslovom da integral postoji. U slučaju kad ovaj integral ne postoji, smatra se da matematičko očekivanje nije definisano.

Matematičko očekivanje predstavlja prosečnu (srednju) očekivanu vrednost slučajne promenljive.

Teorema: Neke značajne osobine matematičkog očekivanja:

1. E(c)=c, gde je c konstanta

2. E(cX)=cE(X)

3. E(X+Y)=E(X)+E(Y)

4. (XY)=E(X)E(Y), ukoliko su X i Y međusobno nezavisne.

Primer: Neka je X slučajna promenljiva definisana kao broj koji pokazuje gornja strana kockice prilikom bacanja. Treba izračunati njeno matematičko očekivanje. Raspodela verovatnoće ove slučajne promenljive data je sa:

Njeno matematičko očekivanje je 𝐸(𝑋) = 1 ∗1/6+ 2 ∗1/6+ 3 ∗1/6+ 4 ∗1/6+ 5 ∗1/6+ 6 ∗1/6 = 7/2

Primer: Događaj A se ostvaruje sa verovatnoćom 0.25. Neki čovek se kladi na taj događaj na sledeći način: ulaže 1 dinar, s tim što gubi svoj ulog ako se događaj A ne ostvari, a dobija 3 dinara (dakle, svoj ulog i još dva dinara) ako se događaj A ostvari. Pitamo se da li se ova opklada isplati.

Neka je slučajna promenljiva X broj dobijenih dinara. Dobitak može da iznosi 2 dinara ili -1 dinar, pa X uzima vrednosti iz skupa {2, 1} i ima raspodelu:

Očekivana vrednost dobitka je 𝐸(𝑋) = −1 ∗ 3/4+ 2 ∗ 1/4 = −1/4. Zaključujemo da je ova opklada nepovoljna (ne isplati se), jer je E(X)<0.

Primer: Slučajna promenljiva X ima gustinu raspodele verovatnoće definisanu sa:

Njeno matematičko očekivanje računamo po formuli:

Na osnovu matematičkog očekivanja definiše se disperzija slučajne promenljive. Dok matematičko očekivanje predstavlja „prosečnu” vrednost slučajne promenljive, to disperzija predstavlja prosečno kvadratno odstupanje od matematičkog očekivanja.

Neka je data slučajna promenljiva X. Ako postoji E(X - E(X))² , tada kažemo da slučajna promenljiva X ima disperziju : D(X)= E(X - E(X))²

Primer: Izračunajmo disperziju slučajne promenljive X sa raspodelom:

Rešenje: Prvo treba da izračunamo E(X). To iznosi 𝐸(𝑋) = 0 ∗1/2 + 1 ∗ 3/8 + 2 ∗ 1/8 = 5/8

Primer: Gustina raspodele slučajne promenljive X je

Oderediti E(X) i D(X).

Rešenje:

Teorema: Ako je D(X) disperzija slučajne promenljive X, onda važi

_____________________________________________________________________________________________
Zadaci:

1. Odrediti očekivanje slučajne veličine koja ima sledeći zakon raspodele:

Rešenje: Vrednost konstante c smo već izdračunali u jednom od prethodnih zadataka i ona iznosi 1/10. Sada računamo matematičko očekivanje slučajne veličine Z:

2. Neka je X neprekidna slučajna promenljiva čija je funkcija gustine

Naći E(X), E(X2) i pomoću formule D(X)=E(X - E(X))² naći disperziju date slučajne veličine.

Rešenje: