Slučajni eksperiment, elementarni događaj i prostor elementarnih događaja
Slučajni eksperiment je svaka potpuno precizirana operacija (radnja) koja se u nepromenjenim
zadatim uslovima može ponoviti proizvoljan broj puta i čiji se rezultat (ishod) ne može unapred
predvideti. Slučajni eksperiment je potpuno određen ako je jasno navedeno šta se u tom ispitivanju
posmatra, tj. šta se registruje kao ishod slučajnog eksperimenta. Ishod slučajnog eksperimenta naziva
se elementarni događaj.
Skup S={e1, e2, e3, ..., en ,...} elementarnih događaja je skup svih mogućih
ishoda posmatranog slučajnog eksperimenta. Njega još nazivamo i prostor elementarnih događaja .
Primer: Neka se slučajni eksperiment sastoji u bacanju ispravne kockice za igru numerisane
brojevima od 1 do 6 na ravnu podlogu. Posmatra se broj koji padne na gornjoj strani kockice.
Označimo sa A događaj: „ Pao je broj 3 “. Događaj A je primer slučajnog događaja. Ovaj događaj se u
navedenom eksperimentu može ali i ne mora ostvariti, jer istu mogućnost imaju i preostalih 5
brojeva. U ovom slučaju, prostor elementarnih događaja je S={1,2,3,4,5,6}
Primer: Eksperiment se sastoji u posmatranju saobraćajne raskrsnice u gradu u
vremenu od 12 do 13h i registrovanju broja automobila marke „Fiat Punto“ koji za to vreme
prođu. Ishodi su brojevi automobila navedene marke koji prođu kroz raskrsnicu za vreme
posmatranja i oni mogu značajno varirati u različitim danima, godišnjim dobima ili vremenskim
prilikama. S={0,1,2,3,...,M}, gde je broj M kapacitet raskrsnice.
Slućajan događaj i verovatnoća
Slučajan događaj (događaj A) nekog slučajnog eksperimenta je svaki podskup skupa S elementarnih
događaja za taj slučajni eksperiment.
Skup S svih ishoda datog slučajnog eksperimenta je takođe događaj i naziva se siguran
(izvestan, pouzdan) događaj i on se pri posmatranom slučajnom eksperimentu uvek realizuje.
Događaj koji se nikada ne realizuje naziva se nemoguć događaj.
U primeru 1, S={1,2,3,4,5,6} je siguran događaj, jer će sigurno pasti neki od šest brojeva.
Nemoguć događaj u istom primeru bio bi recimo: Pao je broj 7
Definicija: Neka je S={e1,e2,e3,...,en} skup elementarnih događaja nekog slučajnog eksperimenta, PS
skup svih podskupova skupa S. Verovatnoća događaja A∈PS je broj P(A), gde je P funkcija na
skupu PS koja zadovoljava sledeće aksiome:
Aksioma 1. Za A ∈ PS , P(A)=0 (nenegativnost)
Aksioma 2. P(S)=1 (normiranost)
Aksioma 3. Za događaje A1,A2,...,An koji pripadaju PS i Ai ∩ Aj = ∅ , i ≠ j, važi da je:
Poseban slučaj je kada su svi događaji jednako verovatni. Tada se verovatnoća definiše na sledeći
način:
Definicija: ( Klasična ili Laplasova definicija verovatnoće ) Verovatnoća događaja A jednaka je
količniku između m-broja elementarnih događaja sadržanih u A (povoljnih za A) i n-broja svih
mogućih ishoda slučajnog eksperimenta: 𝑃(𝐴) = m/n
Primer: Kolika je verovatnoća da pri bacanju kockice za igru padne:
a. paran broj
b. broj manji od 3?
Rešenje:
a. Skup elementarnih događaja je S={1,2,3,4,5,6}, pa je n=6. Za događaj A: Pao je paran broj
je A={2,4,6}, pa je m=3. Zato je P(A)=3/6=1/2
b. Za događaj B: „ Pao je broj manji od 3 “ je B={1,2}, pa je m=2. Zato je
P(B)=2/6=1/3
Primer: U kutiji se nalaze 4 bele i 6 crnih kuglica. Proizvoljno biramo dve kuglice.
Kolika je verovatnoća da
a. obe izvučene kuglice budu bele?
b. kuglice budu različite boje?
Rešenje:
Broj svih ishoda (10/2)= 45.
a. Za događaj A: Izabrane su obe bele kuglice je 𝑚 = (4/2) = 6, pa je zbog toga P(A) = 6/45
b. Za događaj B: Izabrane su kuglice različite boje je 𝑚 = (4/1) ∗ (6/1) = 24, pa je zbog toga P(B)=24/45.
Primer: Iz skupa od 10 osoba od kojih su 6 žena i 4 muškarca na slučajan način biramo 3 osobe. Kolika
je verovatnoća da među izabranim osobama bude bar jedna žena?
Rešenje: Među tri izabrane osobe može biti jedna žena (događaj A), dve žene (događaj B) ili sve tri
žene (događaj C). Pošto su događaji međusobno disjunktni, na osnovu aksiome 3 znamo da je
verovatnoća da se desi jedan od dogadjaja A,B i C jednaka zbiru verovatnoća ta 3 događaja
pojedinačno.
Teorema: Neka su A i B bilo koji događaji iz PS takvi da je A∩ B = ∅, tada je P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).
_____________________________________________________________________________________________
Zadaci:
1. Opisati prostor ishoda narednih događaja:
b. Kockica se baca jednom, ako je pao broj manji od 3 baca se jos jednom
c. Kockica se baca 2 puta. Dogadjaj A=,,Pala je bar jednom šestica”, B=,,Zbir brojeva je manji
od 5”, C=,,U prvom bacanju je pao manji broj nego u drugom”
Rešenje:
Rešenje pod a. i b. možete pogledati na sledećem linku.
Rešenje pod c. možete pogledati na sledećem linku.
2. Iz špila od 32 karte za igru na slučajan način biramo jednu kartu. Kolika je verovatnoća da
izabrana karta bude pik ili dama?
Resenje:
Za događaj A: „ Izabran je pik “ je P(A)=8/32, za događaj B: „ Izabrana je dama“ je P(B)=4/32,
a P(AB)=1/32 jer imamo jednu damu pik, pa je P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=8/32+4/32-
1/32=11/32
3. Kockica se baca n puta. Odrediti verovatnoću događaja:
c. Nisu pale ni četvorka ni dvojka
d. Nije pala četvorka ili nije pala dvojka
Rešenje:
a. Verovatnoca da u jednom bacanju nije pala četvorka je p = 5/6. Verovatnoća da nije pala u n bacanja je 𝑃(𝐴) = (5/6)n
b. Verovatnoća da nije pala dvojka je 𝑃(𝐵) = (5/6)n
c. Verovatnoća da nisu pala ni dvojka ni četvroka u jednom bacanju je p=4/6. Iz toga sledi da je verovatnoća da nije pao nijedan od ta dva broja za n bacanja jednaka
𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐴𝐵) = (5/6)n
d. Sa A smo označili događaj A: ,,Nije pala četvorka”, sa B smo označili B: Nije pala dvojka .
Dogadjaj D: Nije pala četvorka ili nije pala dvojka predstavlja uniju događaja A i B.
4. U kutiji se nalazi 8 belih i 2 crne kuglice. Ako izvlačimo 5 kuglica, koja je verovatnoća da
medju njima bude tačno jedna crna?
Rešenje:
