Slučajna promenljiva i funkcija raspodele


Često srećemo situacije u kojima se svakom elementarnom ishodu jednog slučajan eksperimenta pridružuje neki realan broj, tj. meri neka njegova numerička karakteristika. Na takvo pridruživanje nailazimo, na primer, u igrama na sreću, gde se svakom ishodu pripisuje određeni novčani dobitak ili gubitak za igrača.

Dodeljujući svakom ishodu slučajnog eksperimenta realan broj, mi ustvari zadajemo funkciju na skupu S={e1,e2,...,en} elementarnih događaja sa vrednostima u skupu R. Označimo tu funkciju sa X. Kako ishod slučajnog eksperimenta ne možemo predvideti, tako i vrednost funkcije X za dati ishod ne znamo unapred. Zato se ova funkcija i zove slučajna promenljiva .

Evo još nekih primera slučajnih promenljivih: veličina greške pri merenju neke fizičke veličine, broj ostvarivanja događaja A u n izvođenja slučajnog eksperimenta, broj devojčica među stotinu novorođenčadi, porast cene nafte izražen u dolarima, vek trajanja nekog proizvoda, težina zrna pšenice uzgajane na nekoj parceli itd. Na vrednosti ovih veličina utiče veći broj međusobno nezavisnih okolnosti, tzv. slučajnih faktora, koje se ne mogu unapred predvideti i oceniti.

Definicija: Svako preslikavanje X prostora elementarnih događaja S u skup realnih brojeva, takvo da za svaki interval I na realnoj pravoj skup svih elementarnih događaja na kojima X uzima vrednosti iz I predstavlja jedan slučajan događaj, naziva se slučajna promenjiva



Definicija: Slučajna promenljiva X je diskretnog tipa (diskretna slučajna promenljiva) ako je njen skup vrednosti X(S) konačan ili beskonačan niz realnih brojeva. Slučajna promenjiva X je neprekidnog tipa (neprekidna slučajna promenjiva) ako je skup svih vrednosti koje ona uzima jedan interval na realno pravoj (ovaj interval može biti i ceo skup R).

Za potpunu ocenu slučajne promenjive X i praktično korišćenje njenih karakteristika, potrebno je i dovoljno poznavati:



Primer: Slučajni eksperiment se sastoji u bacanju tri novčića. Neka je karakteristika slučajnog eksperimenta, tj. slučajna promenljiva X-broj palih grbova. Odredićemo vrednosti slučajne promenljive X i verovatnoće sa kojima se te vrednosti ostvaruju.

Rešenje:

Skup elementarnih događaja je S={ PPP, PPG, PGP, GPP, PGG, GPG, GGP, GGG}, gde troslovna skraćenica označava redosled padanja pisma(P) i grba(G) na novčićima redom. Broj palih grbova može biti: 0,1,2 ili 3, pa je X(S)={0,1,2,3}- skup vrednosti slučajne promenjive X (konačan niz brojeva).

Dalje uvedimo događaje: A0 = {PPP}, A1={PPG,PGP,GPP}, A2 ={PGG,GPG,GGP}, A3 ={GGG}, koji sadrže ishode slučajnog eksperimenta prema broju grbova. Označimo sa (X=xk ) događaj da slučajna promenljiva X uzme vrednost xk ∈ X(S), a sa P(X=xk)=p(k)=pk verovatnoću tog događaja. U našem slučaju je:







Funkcija F, koja svakom realnom broju x dodeljuje verovatnoću P{X∈ (-∞,x)}= P{X funkcija raspodele slučajne promenljive X.

Zašto je funkcija raspodele važna? Ako nju znamo, možemo za svaki interval da odredimo verovatnoću da slućajna promenljiva uzme neku od vrednosti iz tog intervala.

P{a ≤ X ≤ b} = P{X ≤ b} - P{a ≤ X} = Fx (b) – Fx(a)

Funkcija raspodele FX slučajne promenljive X je neopadajuća funkcija , neprekidna sa desne strane i za nju važi: F (−∞) = 0 i F (∞) = 1.



Za diskretnu slučajnu promenljivu X skup {p(xk) | xk ∈ X(S)} određuje raspodelu verovatnoća slučajne promenljive X. Ova raspodela se pregledno prikazuje šemom:



Primer: Ako bacimo kockicu skup ishoda će biti Ω={1,2,3,4,5}. Verovatnoća da padne svaki od tih brojeva je p=1/6. Ako sa X označimo slučajnu promenljivu koja predstavlja ishod eskperimenta, to će biti diskretna slučajna promenljiva i rasodela verovatnoca izgleda ovako:




Ako je X diskretna slućajna promenljiva sa konačno mnogo vrednosti {x1, x2, . . . , xn}, tada je njena funkcija raspodele zadata sa:



Na sledećoj slici se vidi da je grafik funkcije raspodele diskretne slučajne promenljive stepenastog oblika:




Primer: Ako slučajna promenljiva X ima sledeći zakon raspodele:



Njena funkcija raspodele je: I njen grafik izgleda ovako:





Za slučajnu promenljivu X kažemo da je apsolutno neprekidnog tipa ako postoji nenegativna integrabilna funkcija p(x) na intervalu (-∞,x), x∈ R , takva da je:



Funkcija p naziva se gustina raspodele slučajne promenljive X. Grafik funkcije p(x) naziva se kriva gustine raspodele ili kraće kriva raspodele verovatnoća.

Geometrijski posmatrano, F(x), verovatnoća da slučajna promenljiva X uzme vrednost manju od x, jednaka površini figure omeđene krivom gustine (grafikom p(x)) i X-osom nad intervalom (-∞, x).



Verovatnoća da slučajna promenljiva apsolutno neprekidnog tipa uzme vrednost u intervalu (a,b) jednaka je površini krivolinijskog trapeza ispod krive gustine (y=p(x)) nad odsečkom [a,b].




Primer: Za funkciju:
Gustina raspodele je:

_____________________________________________________________________________________________
Zadaci:

1. U kutiji se nalaze 3 kuglice numerisane brojevima 1,2,3. Na slučajan način se biraju 2 kuglice, jedna po jedna sa vraćanjem. Ako slučajna vrednost X predstavlja količnik brojeva dobijenih u prvom i drugom bacanju odrediti njenu raspodelu verovatnoće i odrediti verovatnoću da X ima celobrojnu vrednost.

Rešenje se nalazi na sledećem linku.

2. Slučajna veličina Z ima sledeći zakon raspodele:

a. Odrediti vrednost konstante c
b. Izračunati verovatnoću da će se Z naći između 2 i 5
c. Odrediti najmanje k tako da je verovatnoća da je Z≤k veća od 0, 6.

Rešenje: