Slučajne veličine apsolutno neprekidnog tipa

NORMALNA RASPODELA

Za slučajnu promenljivu X kažemo da ima normalan raspored ako je karakterišu neprekidne vrednosti, a njena funkcija gustine ima izraz:

gde su parametri: µ-aritmeticka sredina normalne slucajne promenljive,
σ-standardno odstupanje(devijacija) normalne slucajne promenljive.

Matematicko ocekivanje I disperzija normalne slucajne promenljive jednaki su:

Karakteristike normalnog rasporeda lako se mogu uočiti iz grafičkog prikaza, koji se naziva normalna kriva.

Osobine normalnog rasporeda:

1. Kriva ima oblik zvona, unimodalna je, simetrična u odnosu na µ.

2. Budući da je raspored simetričan, njegova aritmetička sredina, modus i medijana su međusobno jednaki.

3. Normalna kriva se proteže od −∞ do +∞ , tj. asimptotski se približava x osi, pa je njen interval varijacije beskonačan.

4. Ukupna površina ispod krive jednaka je 1. Verovatnoća da promenljiva uzme vrednost manju (ili veću) od aritmetičke sredine iznosi 0,5.

5. Normalna kriva je u potpunosti definisana sa dva parametra µ i σ, tj. raspored se označava sa N(µ, σ2).

P(µ−σ≤ X ≤ µ+σ) = 0,68.

P(µ−2σ≤ X ≤ µ+ 2σ) = 0,95, P(µ−3σ≤ X ≤ µ+ 3σ) = 0,99

Za raspodele u obliku zvona to znači:
68% vrednosti je u opsegu od jedne standardne devijacije od aritmetičke sredine, 95% vrednosti je u opsegu od dve standardne devijacije od aritmetičke sredine, 99,7% vrednosti je u opsegu od tri standardne devijacije od aritmetičke sredine.

Normalan raspored predstavlja najznacajniji teorijski raspored verovatnoce jer je:

1. Veliki broj pojava u prirodi i društvu ima normalan raspored. Tipični primeri su: visina, težina, krvni pritisak, rezultati na testovima inteligencije, greške pri merenju itd. Generalno, ako veliki broj faktora utiče na neku pojavu na aditivan način, i uticaj svakog od njih je veoma mali, može se očekivati da ta pojava sledi normalan raspored

2. Normalan raspored može poslužiti kao odlična aproksimacija raznih prekidnih rasporeda, za one vrednosti koje nisu date u tablicama verovatnoće. Veliki broj prekidnih rasporeda, pod posebnim uslovima, teži normalnom rasporedu

3. Iz normalnog rasporeda je izveden veliki broj drugih neprekidnih rasporeda, koji takođe imaju značajno mesto u statističkoj analizi. Kao što su Studentov ili t-raspored, χ2 - raspored i F (Fišerov ) raspored

a) njegove veze sa Centralnom graničnom teoremom

b) parametarski metodi imaju zajedničku predpostavku da osnovni skup iz koga se uzima uzorak ima normalan raspored

c) čak i neparametarske statističke metode koriste normalan raspored kao sredstvo za donošenje odluke u slučaju velikih uzoraka.

Primer: Neka slučajna promenljiva X ima normalnu raspodelu sa parametrima μ = 0 i standardnom devijacijom σ =1. Izračunati verovatnoću da je slučajna promenljiva X između 0.5 i 2.

Rešenje: P(0.50< X <2.00) = P(0< X< 2.00)- P(0< X< 0.50) = 0.4772 - 0.1915 = 0.2857

Primer: Koeficijent inteligencije ljudi je slucajna promenljiva X sa normalnom raspodelom X: N(110, 100). Posmatra se jedna osoba i meri se njen koeficijent inteligencije. Odrediti verovatnoce da posmatrana osoba ima koeficijent inteligencije:

a) veci od 120

b) manji od 100,

c) izmedju 110 i 130 Rešenje:

^∗

Primer: Pretpostavimo da je poznato da se u 8 od 10 dana prosecna frekvencija elektricne struje u gradskoj mrezi nalazi u dozvoljenim granicama. Kolika je verovatnoca da ce u 50 slucajno izabranih dana, broj dana u kojima je prosecna frekvencija u dozvoljenim granicama biti veca od 45?

Rešenje:

Rešenje možete pogledati na sledećem linku.

UNIFORMALNA RASPODELA

Slucajna promenljiva X ima unifromnu raspodelu na interval (a,b) ako je gustina slucajne promenljive X:

Grafik funkcije raspodele je:

Oznaka uniformne raspodele je X:U(a, b)
Matematicko ocekivanje i disprezija: E(X)=(a+b)/2 , DX=(b-a)²/12

EKSPONENCIJALNA RASPODELA

Eksponencijalna raspodela je najvažnija neprekidna raspodela u izračunavanju tokova materijala. Ona služi na primer kao model za opisivanje razlike vremena ili puta izmedju slučajnih dogadjaja X. Njena funkcija gustine sa konstantnom vrednošću parametra λ > 0, je:

Funkcija eksponencijalne raspodele dobija se kao rezultat integracije funkcije gustine, prema izrazu:

Za koju je ocekivana vrednost: E(X)=1/ג i disperzija D(x)= 1/ (ג*ג)