Dekartove koordinate

Položaj tačke može se opisati tako što odaberemo neku tačku $O \in \mathbb{E}$, koju zovemo koordinatni početak, a zatim svakoj tački $M \in \mathbb{E}$ pridružimo jednoznačno određen vektor $\overrightarrow{OM} \in V$, koji zovemo vektor položaja tačke $M$. Koordinatni sistem $(O, e)$ sastoji se od tačke $O$ i neke baze $e = (\overrightarrow{e1}, \overrightarrow{e2}, \overrightarrow{e3})$ prostora $V$. Koordinate tačke $M$ su koordinate vektora položaja $\overrightarrow{OM}$ u odnosu na zadatu bazu $e$. Ako su vektori baze jedinični kažemo da je koordinatni sistem Dekartov, a ako su međusobno upravni kažemo da je on pravougli.

Ako je $(\overrightarrow{v_1}, ..., \overrightarrow{v_n})$ baza vektorskog prostora $V$ tada za svako $\overrightarrow{x} \in V$ postoje jednoznačno određeni skalari $x_1, ..., x_n \in R$ takvi da je $\overrightarrow{x} = x_1\overrightarrow{v_1} + ... + x_n\overrightarrow{v_n}$ i oni su koordinate vektora $\overrightarrow{x}$ u datoj bazi. Koordinate vektora $\overrightarrow{x}$ obično zapisujemo kao uređenu n-torku $(x_1, ..., x_n)$, što uspostavlja bijekciju između prostora $V$ i $\mathbb{R}^n$.

Dva vektora su jednaka ako i samo ako imaju jednake koordinate u odnosu na istu bazu. Iz osobina vektorskog proizvoda lako vidimo da je koordinata sume vektora jednaka sumi odgovarajućih koordinata, kao i da je koordinata umnoška vektora skalarom jednaka proizvodu skalara i odgovarajuće koordinate.

Ispitajmo kako funkcioniše vektorska algebra u koordinatama, te posmatramo vektorski prostor $V$ dimenzije tri. Iz linearne algebre poznat je Gram-Šmitov postupak ortogonalizacije koji od proizvoljne baze vektorskog prostora koji je snabdeven skalarnim proizvodom pravi ortonormiranu bazu. Neka je $(\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3})$ neka ortonormirana baza vektorskog prostora $V$. Tada je $\overrightarrow{e_i} ·\overrightarrow{e_j} = \overrightarrow{\delta_{ij}}$, gde je $\delta_{ij}$ Kronekerov simbol i iznosi $1$ za $i = j$, odnosno $0$ za $i \neq j$.