Homogene koordinate i projektivna ravan
Afina ravan (podsećanje):
Koordinatni reper $Oxy$,
Koordinate tačke $A(x, y)$,
Jednačina prave $p : ax + by + c = 0$,
Kriva 2. reda: $Γ : a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0$.
Dve razne prave u ravni se seku ili su paralelne!
Definicija. Homogene koordinate tačke $M(x,y)$ afine ravni $\mathbb{R}^2$ su bilo koja uređena trojka $(x_1:x_2:x_3)$ takva da važi: $$x=\frac{x_1}{x_3}, y=\frac{x_2}{x_3}, x_3\neq0.$$
Primetimo da ako su $(x1 : x2 : x3)$ homogene koordinate neke tačke tada su i $(\lambda x_1 : \lambda x_2 : \lambda x_3), \lambda \neq 0$ homogene koordinate iste tačke.
Primer. Homogene koordinate tačke $A(3, 4)$ su $A(3 : 4 : 1)$, ali i, recimo, $A(9 : 12 : 3)$.
Homogene koordinate ravni:
• Vektor $\overrightarrow{M} = (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3$ je vektor predstavnik tačke $M$.
• Prava $p : ax + by + c = 0$ afine ravni, zamenom relacija iz definicije, u homogenim koordinatama dobija oblik $p : ax_1 + bx_2 + cx_3 = 0$. Pošto jednačina $\lambda ax_1 + \lambda bx_2 + \lambda cx_3 = 0$ zadaje istu pravu, trojka $[a : b : c]$ predstavlja homogene koordinate prave $p$, a vektor $\overrightarrow{p} = (a, b, c)$ je vektor predstavnik prave $p$. Dakle, jednačina prave je $p:ax_1+bx_2+cx_3=0$, a homogene kooridnate prave $p[a:b:c]$.
• Prava $u_\infty :x_3=0$ se naziva beskonačno daleka prava, a svaka tačka $P_\infty(x_1:x_2:0), x_1^2+x_2^2\neq 0$, koja joj pripada, je beskonačno daleka tačka.
• Afina ravan dopunjena tačkama beskonačno daleke prave $x_3 = 0$ naziva se dopunjena ili proširena afina ravan i označava sa $\overline{\mathbb{R}}^2=\mathbb{R}^2 \cup u_\infty$.
Teorema. Paralelne prave dopunjene afine ravni se seku u beskonačno dalekoj tački (dopunjene afine ravni). Dakle, svake dve prave u dopunjenoj afinoj ravni se seku.
Svaka prava $a$ dopunjene afine ravni ima jedinstvenu beskonačno daleku tačku $A_\infty$ i to je njen presek sa pravom $x_3 = 0$.
Strogo govoreći prava $ax_1 + bx_2 + cx_3 = 0$ ima "jednu tačku više" od prave $ax + by + c = 0$, tako da one nisu isti objekti, ali ih mi označavamo istim slovom.
Definicija. Realna projektivna prava je skup homogenih kooridnata: $\mathbb{R}\textit{P}^2:=\{(x_1:x_2:x_3)|x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\},$ pri čemu ne mogu sve tri koordinate istovremeno biti jednake nuli.
Identifikacija $\mathbb{R}\textit{P}^2$ sa dopunjenom afinom ravni: $$\mathbb{R}\textit{P}^2=\{(x_1:x_2:x_3)\}=\{(x_1:x_2:x_3)|x_3\neq 0\}\cup \{(x_1:x_2:0)\}$$ $$=\{(\frac{x_1}{x_3}:\frac{x_2}{x_3}:1)\}\cup \{(x_1:x_2:0)\}=\mathbb{R}^2\cup u_\infty=\overline{\mathbb{R}}^2$$ Geometrijski možemo videti realnu projektivnu ravan kao snop pravih prostora, tj. skup pravih koje sadrže koordinatni početak u $\mathbb{R}^3$. Vidimo da su sve tačke realne projektivne ravni geometrijski ravnopravne. Koordinate u projektivnoj ravni uvodimo izborom baze, tj. koordinata u $\mathbb{R}^3$. Izborom tih koordinata možemo da pređemo "neku od" dopunjenih afinih ravni.
Definicija. Sve prave realne projektivne ravni $\mathbb{R}\textit{P}^2$ čine projektivnu ravan $\tilde{\mathbb{R}}\textit{P}^2:=\{[x_1:x_2:x_3]\}$, koja se zove dualna projektivna ravan pravih.
Geometrijski je možemo videti kao skup svih ravni u prostoru $\mathbb{R}^3$ kroz koordinatni početak.
Geometrijska interpretacija:
$\mathbb{R}\textit{P}^2$ - snop pravih u $\mathbb{R}^3$ kroz koordinatni početak
$\tilde{\mathbb{R}}\textit{P}^2$ - pramen pravih u $\mathbb{R}^3$ koji sadrži kooridnatni početak
Koordinate tačaka i pravih:
Homogene kooridnate prave $p=AB$ se dobijaju kao vektorski proizvod $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}$. U projektivnoj ravni svake dve prave se seku. Homogene kooridnate presečne tačke $\{P\}=a\cap b$ se dobijaju vektorskim proizvodom $\overrightarrow{P}=\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$.