Homogene koordinate i projektivna ravan
Princip dualnosti u projektivnoj ravni:
Iskaz $\mathcal{I}'$ dobijen zamenom reči tačka i prava, odnosno pripada i sadrži u iskazu $\mathcal{I}$ naziva se dualan iskaz. Nekad se obe reči: pripada i sadrži, menjaju sa reči je incidentno.
Primer.
$\mathcal{I}:$ Postoji jedinstvena tačka $P$ koja pripada pravama $a$ i $b$.
$\mathcal{I}':$ Postoji jedinstvena prava $p$ koja sadrži tačke $A$ i $B$.
pripada/sadrži $\leftrightarrow$ je incidentno
Teorema (Princip dualnosti u ravni). Ako je iskaz $\mathcal{I}$ teorema projektivne ravni, tada je i njemu dualan iskaz $\mathcal{I}'$ teorema projektivne ravni.
Dokaz: Videli smo da nema suštinske razlike između projektivnog prostora tačaka i pravih (osim oblika zagrada i načina označavanja). Presek pravih se traži na isti način kao i "spoj" tačaka. Dakle, dokažemo li $\mathcal{I}$, dokaz dualnog tvrđenja $\mathcal{I}'$ je promena notacije. ∎
Realna projektivna prava $\mathbb{R}P^1$:
Prava p je u prostoru $\mathbb{R}^3$ predstavljena dvodimenzionom ravni $\pi$, a tačke $A, B \in p$ su predstavljene vektorima $\overrightarrow{A},\overrightarrow{B} \in \pi$. Drugim rečima, $$C \in p=AB \implies \overrightarrow{C}=\alpha \overrightarrow{A} + \beta \overrightarrow{B},\alpha, \beta \in \mathbb{R}, \alpha^2+\beta^2\neq 0$$
$$ \lambda \overrightarrow{C}=\lambda \alpha \overrightarrow{A} + \lambda \beta \overrightarrow{B}, \lambda \neq 0$$
Kako $ \lambda \overrightarrow{C}$ predstavlja istu tačku $\overrightarrow{C}$, primećujemo da su $(\alpha : \beta )$ homogene koordinate tačke na pravoj $p$.
Svaka prava realne projektivne ravni je realna projektivna prava $\mathbb{R}P^1$ koja se dobija dodavanjem beskonačno daleke tačke $P_\infty$ afinoj pravoj $\mathbb{R}$:
$$ p= \mathbb{R}P^1=\{(\alpha : \beta )\}=\{(\frac{\alpha }{\beta } : 1 )\}\cup \{(1 : 0)\}=\mathbb{R} \cup P_\infty$$
Model projektivne prave:
$$\overrightarrow{C}=\alpha \overrightarrow{A} + \beta \overrightarrow{B},\alpha, \beta \in \mathbb{R}, \alpha^2+\beta^2\neq 0$$
$$\frac{1}{\sqrt{\alpha ^2 + \beta ^2}} \overrightarrow{C}=\frac{\alpha }{\sqrt{\alpha ^2 + \beta ^2}} \overrightarrow{A} + \frac{\beta }{\sqrt{\alpha ^2 + \beta ^2}} \overrightarrow{B} = \cos \phi \overrightarrow{A} + \sin \phi \overrightarrow{B}$$
Raspored tačaka na projektivnoj pravoj je isti kao na krugu. Model projektivne prave je krug pa na njoj ne postoji relacija između, već relacija razdvojenosti parova tačaka.
Kažemo da par tačaka $A$, $B$ razdvaja par tačaka $C$, $D$ i to zapisujemo: $A, B \div C, D$.
Dve tačke $A$, $B$ razbijaju pravu $AB$ na dve, projektivno ekvivalentne, projektivne duži - onu koja sadrži tačku $C$ i onu koja sadrži $D$. Izborom beskonačno daleke prave $p_\infty$ projektivne ravni (tj. prelaskom na afinu geometriju), na svakoj pravoj $p$ te ravni smo odredili beskonačno daleku tačku $P_\infty$. Tada relacija razdvajanja postaje relacija "između" $A − C − B \stackrel{def.}{\Leftrightarrow} A, B \div C, P_\infty$.