Krive trećeg reda u euklidskoj ravni

Kriva trećeg reda je skup tačaka ravni $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ koje zadovoljavaju jednačinu $f(x, y)=0$ gde je $f$ polinom trećeg stepena po $x$ i $y$ sa realnim koeficijentima. Odnosno, važi $$f(x, y)= f_3(x, y)+f_2(x, y)+f_1(x, y)+f_0$$ gde su $f_i$ homogene kompontente polinoma $f$, tj. $$f_3(x, y)=a_{30}x^3 + a_{21}x^2y + a_{12}xy^2 + a_{03}y^3$$ $$f_2(x, y)=a_{20}x^2 + a_{11}xy + a_{02}y^2$$ $$f_1(x, y)=a_{10}x + a_{01}y$$ $$f_0(x, y)=a_{00}$$ i $a_{ij}\in \mathbb{R}$, pri čemu je $a_{30}^2 + a_{21}^2+ a_{12}^2 + a_{03}^2 > 0$ (što znači da postoji barem jedan kubni član).

Jednačina krive trećeg reda u projektivnoj ravni:

$\begin{align} f&=f(x,y,z)\\ &=a_{30}x^3 + a_{21}x^2y + a_{12}xy^2 + a_{03}y^3 + a_{20}x^2z + a_{11}xyz + a_{02}y^2z + a_{10}xz^2 + a_{01}yz^2 + a_{00}z^3 \end{align}$

Komentar: Projektivizaciju radimo na potpuno isti način kako smo i za krive drugog reda, samo što sada zbog daljeg rada koristimo nešto drugačije oznake, odnosno umesto $x_1$, $x_2$ i $x_3$ koristićemo oznake $x$, $y$ i $z$

Klasifikacija krivih trećeg reda

Svaka algebarska kriva trećeg reda se projektivnim transformacijama može svesti na Vajerštrasov oblik: $P(X)=x^3+py^2+qz+r$. Kako je to polinom trećeg stepena on će uvek imati tri korena, a klasifikacije krivih trećeg reda vršimo baš prema broju različitih korena ovog polinoma.
1) Ukoliko su sva tri korena ista, linearnom smenom polinom $P(x)$ lako dovodimo u $y^2=x^3$ oblik. Ovakvu krivu nazivamo cusp - kriva.
2) Kada imamo dva ista korena, a treći različiti, tada $P(x)$ prevodimo u oblik $y^2={x^2}(x-\lambda)$. Krivu opisanu ovim polinomom nazivamo $\alpha$-kriva.
3) Na kraju, ukoliko su sva tri korena različita, $P(x)$ dovodimo do $y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ oblika, i algebarsku krivu zadatu ovim polinomom nazivamo eliptička kriva.