Singulariteti i tangente

Singulariteti

Tačku $P(x:y:z)$ sa algebarske krive $C$ zadate polinomom f nazivamo singularitet krive $C$ ukoliko su svi parcijalni izvodi polinoma f u tački P jednaki 0. Matematički zapisano:

$P \in C$ je singularitet $\iff f_x(P)=f_y(P)=f_z(P)=0$
gde su $f_x$, $f_y$ i $f_z$ svi parcijalni izvodi polinoma f

Mi ćemo se baviti ispitivanjem singulariteta kod krivih trećeg reda. Spomenućemo još i da se svaka druga tačka krive koja nije singularna, naziva regularna tačka.
Definiciju singularne tačke koju smo upravo naveli se koristi u konceptima matematičke analize. Zanimljivo je da možemo uočiti da li je tačka singularitet i na sledeći način:

Zadajemo jednačinu algebarske krive preko polinoma $f(x, y)$ kao na početku ove strane. Ispitajmo da li je proizvoljna tačka M(x,y) regularna ili singularna tačka, ali za te potrebe ćemo vršiti afine transformacije tako da tačku M posmatramo kao tačku O(0,0). odnosno prikažimo ga kao zbir njegovih homogenih komponenti uz dodatak da za tačku O(0,0) važi f(O)=0 (što lako možemo uraditi translacijom krive tako da tačka O pripada krivoj). Tada će jednačina krive biti nešto drugačija, odnosno član $f_0$ će zasigurno biti jednak nuli, dok za ostale homogene polinome to ne znamo. Zato možemo zapisati: $$f(x, y)= f_3(x, y)+f_2(x, y)+f_1(x, y)$$ Najmanji stepen $k$ za koji je $f_k \neq 0$ nazivamo $višestrukošću polinoma f$ u nuli.
Ukoliko je $k=1$ tada je tačka $(x,y)$ regularna, u suprotnom je ona singularna.

Primer
Posmatrajmo krivu $y^2=x^3$, vidimo da je $f_3=x^3$, $f_2=y^2$, a $f_1=0$, s toga je višestrukost polinoma f u nuli jednaka 2, a tačka O(0,0) je singularitet.

Tangente

Do sada smo se susretali sa krivama koje u svakoj tački imaju jedinstvenu tangentu, međutim kod krivih trećeg reda to nije uvek slučaj. Važiće sledeće: Ukoliko je tačka na krivoj regularna, tada će postojati jedinstvena tangenta na krivu u toj tački. Kada je tačka singularna, situacija se komplikuje.