Cusp kriva

Cusp kriva dobija svoj naziv po izgledu koji podseća na ''šiljak'' (od engleskog ''cusp''). Zapravo cusp krive su one krive koje sadrže cusp tačku, tačku koja predstavlja pomenuti ''šiljak''. Intuicija se odmah može steći pri pogledu na sliku ispod na kojoj je prikazana cusp kriva $y^2=x^3$.

Kako iz matematičkog ugla možemo da opišemo cusp tačku? Cusp tačka je ona tačka koja se dobija u preseku dve grane krive, ali tako da su u toj tački tangente na te dve grane jednake. Dakle, kroz cusp tačku imamo jednu pravu koja je istovremeno tangenta na obe krive u toj tački. Možemo je opisati i kao tačku u kojoj kriva naglo promeni smer pri svom pravcu putanje.

Hajde sada da primenimo znanje o singularnim tačkama na primeru cusp tačke. Uverićemo se da cusp tačka jeste jedna singularna tačka.
Zapravo kriva iz primera sa prethodne strane predstavlja cusp krivu i to baš njen oblik $y^2=x^3$ do kog uvek možemo da dođemo projektivnim transformacijama.
Ponovimo: $f_3=x^3$, $f_2=y^2$, a $f_1=0$, s toga je višestrukost polinoma f u nuli jednaka 2, pa je tačka O(0,0) je singularitet.