Eliptičke krive

Eliptičku krivu možemo svesti na oblik $y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ gde jasno uočavamo njena tri različita korena, a možemo ih posmatrati i kao tri različita preseka sa $x$-osom, odnosno pravom $y=0$.
Eliptička kriva nema singularitete, te je vidimo kao glatku krivu bez ijednog šiljka. Ono što je karakteristično za ovu krivu jeste sam njen izgled "roda 1" što bi značilo da ona jednim svojim delom predstavlja zatvorenu krivu koja podseća na krug. Pogledajte sliku ispod.

Eliptičke krive su nam od velikog značaja s obzirom da ih možemo posmatrati kao Abelovu grupu, a potom se koristiti njome u cilju algebarskih ispitivanja i dokazivanja. Uvedimo zato definiciju Abelove grupe, a potom i pokažimo kako to eliptičku krivu vidimo kao Abelovu grupu.

Abelova grupa

Kako bismo uveli pojam Abelove grupe, razumimo prvo pojam grupe sa kojim se susrećemo na samom početku izučavanja algebre:
def. Grupa $(G,*)$je skup sa binarnom operacijom $*$ koja zadovoljava sledeće četiri aksiome:
1) Zatvorenost: $\forall a, b \in G$ važi da $a*b \in G$
2) Asocijativnost: $\forall a, b$ i $c \in G$ važi da $(a*b)*c=a*(b*c)$
3) Postojanje neutrala: Postoji element $e\in G$ takav da za svaki element $a\in G$ važi $a*e=e*a=a$
4) Postojanje inverza: Za svaki element $a\in G$ postoji element $b\in G$ takav da važi $a*b=b*a=e$ gde je $e$ neutral definisan pod 3).
Možemo još napomenuti i da se lako dokazuje da pored toga što neutral postoji, da je on i jedinstven, a takođe da jedinstvenost važi i za svaki inverz nekog elementa grupe.

Primeri grupa:
$(\mathbb{Z},+)$ - Skup celih brojeva sa operacijom sabiranja jeste grupa. Zaista kada saberemo dva cela broja dobijamo ponovo ceo broj (zatvorenost), takođe nije teško pokazati ni asocijativnost, neutral nam je $0$, dok je inverz proizvoljnog celog broja $a$ baš $-a$
$(\mathbb{Q},\cdot)$ - Skup racionalnih brojeva sa operacijom množenja takođe je grupa. Proverimo: kada pomnožimo dva racionalna broja rezultat je uvek racionalan broj (zatvorenost), asocijativnost lako uočavamo, neutral nam je $1$, dok je inverz proizvoljnog racionalnog broja $q$ baš $\frac{1}{q}$
$(\mathbb{Z},\cdot)$ - Skup celih brojeva sa operacijom množenja NIJE grupa. Prve tri osobine važe, međutim ne važi da za proizvoljan ceo broj postoji inverz koji je takođe iz grupe celih brojeva (npr. inverz broja $3$ je $\frac{1}{3} \notin \mathbb{Z}$

Definicija Grupa je Abelova ukoliko važi još jedna aksioma:
5) Komutativnost: $\forall a, b \in G$ važi da $a*b=b*a$

Navedene grupe ($\mathbb{Z}$ sa operacijom sabiranja) i ($\mathbb{Q}$ sa operacijom množenja) su Abelove.

Teorija grupa nam pruža lepe alate za bavljenje simetrijom, a eliptičke krive jesu simetrične. Hajde sada da objasnimo kako to Eliptičku krivu možemo posmatrati kao Abelovu grupu:

Neka je eliptička kriva zadata jednačinom: $y^2=x^3+ax^2+bx+c$.
Nakon homogenizacije ove jednačine dobijamo $y^2z=x^3+ax^2z+bxz^2+cz^3$ i možemo primetiti da je jedina presečna tačka krive sa beskonačno dalekom pravom $z=0$ tačka $(0:1:0)$, samim tim ona je i jedina beskonačno daleka tačka na našoj eliptičkoj krivoj. Obeležimo tu tačku sa $O$. Takođe, možemo primetiti da svaka prava paralelna $y$-osi koja seče našu krivu, seče je u dve tačke takve da su te dve tačke simetrične jedna drugoj u odnosu na $x$-osu. Pogledajte sliku iznad i zaista prava paralelna y-osi koja prolazi kroz $P$, seče našu krivu u tački $-P$ koja je simetrična tački P u odnosu na x-osu, analogno za tačku $Q$, kao i svaku drugu tačku naše krive. Tako smo definisali preslikavanje tačke $P$ u tačku $-P$.
Definišimo sada operaciju $P+Q:=$ $-R$, gde je $R$ tačka koja je treći presek prave određene tačkama $P$ i $Q$ sa našom krivom.

Teorema. Ovim pravilom zadata je binarna operacija koja pretvara eliptičku krivu u Abelovu grupu.
Dokaz: Proverimo sve aksiome koje čine definiciju Abelove grupe:
1) Zatvorenost: Za svake dve tačke $P$ i $Q$ sa krive, važi da će i tačka $P+Q$, odnosno tačka $-R$ pripadati našoj krivoj. Zaista, tačku $R$ smo definisali kao tačku sa krive, a takođe smo i $-R$ definisali kao tačku sa krive simetričnoj tački $R$ u odnosu na $x$-osu.
3) Postojanje neutrala: Neutral je baš beskonačno daleka tačka $O$. Zaista, prava određena tačkama $P$ i $O$ jeste prava kroz $P$ sa koeficijentom pravca koji određuje tačka $O(0:1:0)$, a to je baš prava kroz $P$ paralelna $y$-osi, samim tim je treći presek sa našom krivom tačka $-P$, a pošto je onda $P+O:=-(-P)=P$ dobijamo da tačka $O$ jeste neutral.
4) Postojanje inverza: Inverz proizvoljne tačke $P$ sa krive je baš tačka $-P$. Dokaz je sličan kao pod 3).
5) Komutativnost: Trivijalno važi, jer nije bitno kojim redom posmatramo dve tačke, već nam je važno da one čine pravu koja nam daje treću tačku tj. treći presek sa eliptičkom krivom.

Primetimo da je ostalo još da proverimo svojstvo 2) Asocijativnost, međutim ono zahteva ozbiljniji matematički dokaz, stoga ćemo taj deo preskočiti, ali verovati da asocijativnost zaista važi za ovako definisanu binarnu operaciju $P+Q$

Ovim smo pokazali kako eliptičku krivu možemo da uvrstimo u redove Algebre, te da se njome služimo i u ovoj izuzetno značajnoj grani matematike.