Hiperbola u euklidskoj ravni
Hiperbola (starogrč. ύπερβολή, preterivanje) u matematici je algebarska kriva drugog reda u ravni, data sledećom jednačinom: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. Sastoji se iz dva simetrična dela, ima dva fokusa i dve asimptote date jednačinom ${ ay\pm bx=0}$. Tačka preseka asimptota predstavlja centar simetrije hiperbole. Hiperbola, zajedno sa parabolom i elipsom, predstavlja tri tipa konusnih preseka. Konusni preseci se dobijaju u preseku ravni sa konusnom površinom (konusna površina se proteže u oba pravca).
Svaka grana hiperbole ima dva kraka koji postaju ravniji (donja krivina) dalje od centra hiperbole. Dijagonalno suprotni krakovi, po jedan iz svake grane, teže u limitu ka zajedničkoj liniji, koja se naziva asimptota ta dva kraka. Dakle, postoje dve asimptote, čiji je presek u centru simetrije hiperbole, što se može smatrati tačkom ogledala oko koje se svaka grana odražava da bi formirala drugu granu. U slučaju krive $ y(x)= \frac{1}{x}$ asimptote su dve koordinatne ose.
Hiperbole dele mnoga analitička svojstva elipse kao što su ekscentricitet, fokus i direktrisu. Obično se korespondencija može napraviti samo sa promenom predznaka u nekom terminu. Mnogi drugi matematički objekti imaju svoje poreklo u hiperboli, kao što su hiperbolički paraboloidi (površine sedla), hiperboloidi („korpe za otpatke“), hiperbolična geometrija (proslavljena neeuklidska geometrija Lobačevskog), hiperboličke funkcije (sinh, cosh, tanh, itd) i žirovektorski prostori (geometrija predložena za upotrebu u relativističkoj i u kvantnoj mehanici koja nije Euklidska).
Definicija - Kao lokus tačaka:
Hiperbola je skup tačaka, takav da je za bilo koju tačku skupa $P$ apsolutna razlika rastojanja $|PF_{1}|,\,|PF_{2}|$ na dve fiksne tačke $F_{1},F_{2}$ (žarišta) konstantna, obično se označava sa $2a,\,a>0:$ $H=\{P:||PF_{2}|-|PF_{1}||=2a\}$.
Srednja tačka segmenta linije $M$ koji spaja fokuse naziva se centar hiperbole. Linija koja prolazi kroz žarišta naziva se glavna osa. Ono sadrži vrhove $V_{1},V_{2}$, koji imaju rastojanje $a$ do centra. Udaljenost $c$ od fokusa do centra se naziva žižna udaljenost ili linearni ekscentricitet. Količnik ${\tfrac {c}{a}}$ je ekscentricitet $e$.
Jednačina $||PF_{2}|-|PF_{1}||=2a$ se može posmatrati na drugačiji način (pogledajte dijagram): Ako je $c_{2}$ krug sa sredinom $F_{2}$ i poluprečnikom $2a$, tada je rastojanje tačke $P$ desne grane do kruga $c_{2}$ jednako rastojanju do fokusa $F_{1}$: $|PF_{1}|=|Pc_{2}|$, $c_{2}$ se naziva kružna direktrisa (povezana sa fokusom $F_{2}$ hiperbole. Da bi se dobila leva grana hiperbole, mora se koristiti kružna direktrisa srodna za $F_{1}$. Ovo svojstvo ne treba mešati sa definicijom hiperbole uz pomoć direktrise (linije) ispod.
Svojstva direktrise:
Dve prave na udaljenosti ${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}}$ od centra i paralelno sa malom osom nazivaju se direktrise hiperbole (pogledajte dijagram). Za proizvoljnu tačku $P$ hiperbole količnik udaljenosti do jednog fokusa i do odgovarajuće direktrise (pogledajte dijagram) je jednak ekscentricitetu: ${\frac {|PF_{1}|}{|Pl_{1}|}}={\frac {|PF_{2}|}{|Pl_{2}|}}=e={\frac {c}{a}}$.
Inverzna izjava je takođe tačna i može se koristiti za definisanje hiperbole (na način sličan definiciji parabole): Za bilo koju tačku $F$ (fokus), bilo koja prava $l$ (direktrisa) nije kroz $F$ i bilo koji realni broj $e$ sa $e>1$ skup tačaka (lokus tačaka), za koji je količnik rastojanja do tačke i do prave je $e$: $H=\left\{P\,{\Biggr |}\,{\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right\}$ je hiperbola. (Izbor $e=1$ daje parabolu i ako je $e<1$ elipsu.)
Jednačine hiperbole:
Parametarska jednačine hiperbole je: ${\begin{cases}x=a\sec \alpha \\y=b\tan \alpha \end{cases}}$.
U Dekartovom koordinatnom sistemu, hiperbola se opisuje jednačinom: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$.
Osobine:
Postoje dve važne osobine fokusa hiperbole $F_{1},F_{2}$:
1. Za svaku tačku hiperbole $R$, važi (d je rastojanje): $ \mid d(P,F_{1})-d(P,F_{2})\mid =2a, a \in \mathbb{R}$.
Ovo svojstvo omogućava i sledeću definiciju hiperbole: Geometrijsko mesto tačaka u ravni, za koje je apsolutna vrednost razlike rastojanja od bilo koje tačke do dve fiksne tačke u istoj ravni (dva fokusa), konstantna.
2. Tangenta na svaku tačku hiperbole $R$ predstavlja bisektrisu $\angle F_{1}PF_{2}$.
Hiperbole se pojavljuju kao ravni preseci sledećih kvadrika:
• eliptični konus
• hiperbolički cilindar
• hiperbolički paraboloid
• hiperboloid jednog lista
• hiperboloid od dva lista