Elipsa u euklidskoj ravni
Elipsa (starogrč. ἔλλειψις, nedostatak) je u matematici kriva zatvorena linija u ravni, koja se može definisati kao geometrijsko mesto tačaka čiji je zbir rastojanja jedne tačke na elipsi od dve fiksirane tačke uvek jednak (vidi sliku). Ove dve tačke se još nazivaju fokusima elipse, a tačka koja se nalazi tačno između njih je centar elipse.
Elipsa ima dva prečnika (poluprečnika) koji predstavljaju minimalno i maksimalno rastojanje njenih tačaka od njenog centra, i nazivaju se ose elipse. Ose elipse su dve prave koje sadrže njene prečnike. Prva, veća, prolazi kroz obe fokusne tačke, a druga, manja prolazi kroz njen centar, i normalna je na prvu. Polovina veće poluose se naziva velika poluosa, i u astronomiji se koristi kao jedan od orbitalnih parametara koji opisuje putanju nekog nebeskog tela.
Ukoliko su fokusne tačke elipse jedna te ista tačka, radi se o specijalnom slučaju elipse, koji se naziva krug.
Dakle, elipsa je zatvorena kriva koja je određena sa dve poluose: velikom (oznaka: $a$) i malom (oznaka: $b$). Oblik elipse definiše se njenim ekscentricitetom (ili eliptičnošću, oznaka: $e$). Elipsa se može takođe predstaviti kao kosi presek ravni i valjka. Tačke $F_1$ i $F_2$ nazivaju se fokus. Osobine tački $F_1$ i $F_2$ i promenljive tačke $X$ je da je suma dužina duži $F_1X$ i $F_2X$ uvek jednaka.
U trodimenzionalnim koordinatnom sistemu oblik elipse se zove elipsoid. U geometriji elipsoid je telo koje je u odnosu na loptu blago spljošteno.
Jednačina:
Neka se ose elipse poklapaju sa koordinantnim osama. Jednačina elipse je: ${\displaystyle \displaystyle {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}}=1}$.
Delovi elipse:
- Tačke $F_{1}$ i $F_{2}$ zovu se fokusi elipse.
- Glavna osa elipse je prava kroz fokuse (prava određena tačkama $ F_{1}$ i $F_{2}$).
- Sredina duži $F_{1}F_{2}$ je središte elipse.
- Sporedna osa je normala na glavnu osu kroz središte elipse.
- Tačke u kojima ose seku elipsu zovu se temena.
- Velika osa je duž $AB$.
- Mala osa je duž $CD$.
- Velike poluose su duži $AS$ i $SB$.
- Male poluose su duži $CS$ i $SD$.
- Linearni ekscentricitet udaljenost fokusa od središta elipse.
- Radijus vektori tačke na elipsi su dužine $F_{1}X$ i $F_{2}X$.
Ekscentricitet:
Ekscentricitet je konstanta karakteristična za svaku elipsu. Predstavlja minimalno rastojanje fokusne tačke elipse od elipse, duž ose. Označava se sa $e$ i izračunava se kao:
${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$, gde su $a$ i $b$ dužine poluprečnika elipse. Ako sa $c$ označimo rastojanje između fokusnih tačaka elipse dobićemo ${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$.
Fokus i direktrisa :
Elipsa je geometrijsko mesto tačaka $M$ u ravni čiji je odnos udaljenosti do jedne fiksne tačke $F$ i do jedne fiksne prave $d$ konstantan broj $e \in (0,1)$. Ta fiksna tačka se naziva fokus, ili žiža elipse, fiksna prava direktrisa, ili vodilja, a konstantan broj, količnik naziva se (numerički) ekscentricitet.
Zbir rastojanja tačke elipse od žiža:
Zbir rastojanja ma koje tačke elipse od njenih žiža, fokusa $F_{1}$ i $F_{2}$ je konstantan i iznosi $2a$.
Osobine:
- Algebarska zatvorena kriva jedna je od konika.
- Skup tačaka ravni kojima je zbir udaljenosti od dve fiskne tačke, fokusa, konstantan.
- Elipsa je simetrična s obzirom na dve ose (glavne ose) i njihov presek, središte/centar simetrije.
- Fokusi elipse smešteni su na velikoj osi simetrično s obzirom na središte, a apscisa im je $e$.
- Svaka tetiva koja prolazi kroz središte elipse njezin je prečnik.
- Tangenta na elipsu u tački $T$ elipse zatvara jednake uglove sa spojnicama $r_{1}$, $r_{2}$ tačke $T$ sa fokusima elipse
- Planete se kreću po elipsama kojima se u jednom žarištu nalazi Sunce.
Površina i obim:
Površina zatvorena elipsom je: $P=ab\pi$, gde su $a$ i $b$ polovine velike i male ose, a $\pi =3,14159...$ matematička konstanta. Do formule za površinu se dolazi izračunavanjem pomoću integrala. Obim $O$ elipse je ${ 4aE(\varepsilon )}$, gdje je funkcija $E$ totalni eliptični integral druge vrste. Opštije, dužina luka dela obima, kao funkcija obuhvatnog ugla, data je nepotpunim eliptičkim integralom. Inverzna funkcija, obuhvatni ugao kao funkcija dužine luka, je data preko eliptičkih funkcija.
Elipse se pojavljuju kao ravni preseci sledećih kvadrika:
• elipsoid
• eliptični konus
• eliptični cilindar
• hiperboloid jednog lista
• hiperboloid od dva lista