Parabola u euklidskoj ravni
Parabola (starogrč. παραβολή, poređenje) je kriva u ravni, koja može da se predstavi kao konusni presek stvoren presekom ravni sa pravim kružnim konusom, pri čemu je ravan paralelna sa izvodnicom konusa. Parabola se može definisati i kao geometrijsko mesto tačaka u ravni koje su jednako udaljene od tačke (fokusa) i date prave (direktrise).
U Dekartovim koordinatama, parabola sa osom paralelnom sa osom $y$, vrhom u $(h, k)$, sa fokusom u $(h, k + p)$ i direktrisom $y = k - p$, gde je $p$ rastojanje od vrha do fokusa, opisuje se jednačinom: $${\displaystyle (x-h)^{2}=4p(y-k)\,},$$ a parabola sa osom paralelnom sa osom x jednačinom $${\displaystyle (y-k)^{2}=4p(x-h)\,}.$$ Još opštije, parabola je kriva u Dekartovom koordinatnom sistemu definisana nesvodljivom jednačinom oblika $${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,},$$ gde je ${\displaystyle B^{2}=4 AC\,}$, svi koeficijenti su realni brojevi, ${\displaystyle A\not =0\,}, {\displaystyle C\not =0\,}$, i gde postoji više od jednog rešenja koje definiše tačke parabole $(x, y)$.
Osobine:
Parabola je osno simetrična. Osa simetrije prolazi fokusom parabole i normalna je na direktrisu. Rotacijom parabole oko njene ose simetrije nastaje paraboloid. Za parabolu se kaže da je u normalnom položaju, kada je njena osa paralelna s osom ${\displaystyle x}$ ili ${\displaystyle y}$. Parabola se može definisati kao konusni presek s nagibom koji je jednak jedan. Iz toga proizilazi, da su sve parabole slične.Parabola se može shvatiti kao granica niza elipse, u kojoj je jednan od fokusa stacionaran, a drugi se postepeno udaljava do beskonačnosti.
Matematički zapisi:
Implicitni zapis:
${\displaystyle \|XF\|=\|Xd\|\,\!}$. Skup svih tačaka $X$ u ravni, koje imaju istu udaljenost od fokusa $F$ i od direktrise $d$, koja ne prolazi fokusom $F$.
Standardni opis parabole (Dekartov koordinatni sistem):
$V[m, n]$ – vrh parabole sa koordinatama $m$, $n$
$F$ – fokus parabole
$d$ – direktrisa
$ o$ – osa parabola
${\displaystyle |DF|=p}$ – veličina parametra, ${\displaystyle p>0\,\!}$
${\displaystyle |DV|=|FV|={p \over 2}\,\!}$
$X[x, y]$ – proizvoljna tačka koja pripada paraboli
Kanonski oblik jednačine:
Kanonski (normalni) oblik jednačine parabole u normalnom položaju (osa parabole je paralelna sa osom $x$ te za vrh parabole ${\displaystyle V=[x_{0},y_{0}]}$ vredi ${\displaystyle {(y-y_{0})}^{2}=2p(x-x_{0})}$. Za ${\displaystyle p>0}$ parabola je otvorena desno, a za ${\displaystyle p<0}$ parabola je otvorena levo. Za ${\displaystyle x_{0}=0,y_{0}=0}$ dobija se parabola s vrhom u koordinatnom početku. Fokus tako zadane parabole ima koordinate ${\displaystyle \left[x_{0}+{\frac {p}{2}},y_{0}\right]}$, a direktrisa je opisana jednačinom $ {\displaystyle x=x_{0}-{\frac {p}{2}}}$. Kanonski oblik jednačine parabole s osom u koordinatnoj osi ${\displaystyle y}$ i vrhom u koordinatnom početku se može zapisati kao ${\displaystyle x^{2}=2py}$. Za ${\displaystyle p>0}$ parabola je otvorena prema gore, a za ${\displaystyle p<0}$ otvorena je prema dole.
Uzajamni odnos parabole i prave:
Ako se reši sistem jednačina parabole i prave. Ukoliko se dobije linearna jednačinu, koja ima rešenja - prava seče parabolu u jednoj tački. Ukoliko linearna jednačina nema rešenja - prava i parabola se mimoilaze. Ukoliko se dobije kvadratna jednačina i diskriminanta ${\displaystyle D}$ je:
$D > 0$ dva rešenja - prava seče parabolu u dve tačke
$ D = 0$ jedno rešenje - prava je paraboli tangenta
$D < 0$ nema rešenja - prava i parabola se mimoilaze
Polarni koordinatni sistem:
Parabola s fokusom u početku koordinatnog sistema i s vrhom na negativnoj poluosi $x$ zapisuje se pomoću jednačine: ${\displaystyle r(1-\cos \varphi )=p\,}$, gde ${\displaystyle p>0}$ je parameter parabole.
Sledeće kvadrike sadrže parabole kao ravne preseke:
• eliptični konus
• parabolički cilindar
• eliptični paraboloid
• hiperbolički paraboloid
• jednodelni hiperboloid
• dvodelni hiperboloid