Krive drugog reda u euklidskoj ravni

    Kriva drugog reda je skup tačaka ravni $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ koje zadovoljavaju jednačinu $f(x, y)=0$ gde je $f$ polinom drugog stepena po $x$ i $y$ sa realnim koeficijentima.

Odnosno, važi $$f(x, y) = a_{11} \cdot x^2 + 2a_{12} \cdot xy + a_{22} \cdot y^2 + 2a_{13} \cdot x + 2a_{23}\cdot y + a_{33}$$ gde su $a_{11}, a_{12}, a_{22}, a_{13}, a_{23}, a_{33} \in \mathbb{R}$, pri čemu je $a_{11}^2 + a_{12}^2+ a_{22}^2 > 0$ (što znači da postoji barem jedan kvadratni član).

U nastavku ćemo prikazati ukratko kako se može pojednostaviti početna jednačina eliminacijom određenih članova, nakon čega ćemo moći da klasifikujemo krive drugog reda.
Ukoliko postoji član $a_{12} \neq 0$ (koji se nalazi uz $x \cdot y$), to znači da je kriva na neki način iskošena u postojećem koordinatnom sistemu. Želimo da član $a_{12}$ eliminišemo što možemo učiniti tako što pronađemo novi koordinatni sistem u kom će kriva biti ispravljena, pa će onda važiti $a_{12}=0$. Dobijanje novog koordinatnog sistema se postiže rotaciojom starog koordinatnog sistema oko koordinatnog početka za neki ugao $\theta$.

Na ovaj način smo uklonili jedan koeficijent jednačine krive, pa samim tim na dalje možemo posmatrati krivu čija jednačina ima opšti oblik: $$a_{11} \cdot x^2 + a_{22} \cdot y^2 + 2a_{13} \cdot x + 2a_{23}\cdot y + a_{33}=0$$

U poslednjoj jednačini smo eliminisali član uz $x \cdot y$ i time razdvojili promenljive $x$ i $y$. Sada, možemo primetiti da je moguće izdvojiti $a_{11} x^2 + 2a_{13} x$ (deo sa $x$) i $a_{22} y^2 + 2a_{23} y$ (deo sa $y$). Translofrmisaćemo oba dela na sledeći način:
$$a_{11} \cdot x^2 + 2a_{13} \cdot x = a_{11} \cdot (x^2 + 2x\frac{a_{13}}{a_{11}} + (\frac{a_{13}}{a_{11}})^2) - \frac{a_{13}^2}{a_{11}} = a_{11}(x + \frac{a_{13}}{a_{11}})^2 - \frac{a_{13}^2}{a_{11}}$$ $$a_{22} \cdot y^2 + 2a_{23} \cdot y = a_{22} \cdot (y^2 + 2y\frac{a_{23}}{a_{22}} + (\frac{a_{23}}{a_{22}})^2) - \frac{a_{23}^2}{a_{22}} = a_{22}(y + \frac{a_{23}}{a_{22}})^2 - \frac{a_{23}^2}{a_{22}}$$ Dakle, ukoliko zamenimo $x$ sa $x + \frac{a_{13}}{a_{11}}$ i $y$ sa $y + \frac{a_{23}}{a_{22}}$ tj. izvršimo translaciju, eliminisaćemo i članove uz $x$ i $y$, kvadratni ostaju. Do sad je primenjena rotacija i translacija - obe su izometrijske transformacije što je bitno jer se čuvaju dužine.

Ukoliko su $a_{11}, a_{22} \neq 0$ dobijamo oblik (nemamo više članove uz $x$ i $y$): $$a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + a_{33} = 0$$
1. Ako su $a_{11}$ i $a_{22}$ istog znaka tj. $a_{11}a_{22}>0$

    *** U slučaju da je $a_{33}$ suprotnog znaka u odnosu na njih
Uvođenjem smene $a=\sqrt{-\frac{a_{33}}{a_{11}}}$ i $b=\sqrt{-\frac{a_{33}}{a_{22}}}$ dobijamo: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ što je kanonska jednačina elipse o kojoj će biti više reči u odeljku Elipsa

    *** U slučaju da je $a_{33}$ istog znaka kao $a_{11}$ i $a_{22}$
Dobija se: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = -1$. Ova kriva će biti prazan skup, jer zbir kvadrata ne može biti negativan u realnoj ravni (dok će u kompleksnoj postojati kriva i neće biti prazan skup).

    *** U slučaju da je $a_{33}=0$
Jednačina se onda svodi na $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 0$. Poslednju jednačinu zadovoljava samo koordinatni početak, pa je u pitanju tačka. U kompleksnoj ravni se može pokazati da su to zapravo dve imaginarne prave koje se seku u realnoj tački.


2. Ako važi da su $a_{11}$ i $a_{22}$ različitog znaka tj. $a_{11} a_{22}<0$

    *** U slučaju da je $a_{33}\neq0$
Pretpostavimo da su $a_{33}$ i $a_{11}$ istog znaka (analogno bi bilo da smo pretpostavili da su $a_{33}$ i $a_{22}$ istog znaka). Tada smenom $a=\sqrt{-\frac{a_{33}}{a_{11}}}$ i $b=\sqrt{\frac{a_{33}}{a_{22}}}$ dobijamo $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ što je kanonska jednačina hiperbole o kojoj će biti više reči u odeljku Hiperbola

    *** U slučaju da je $a_{33}=0$
Tada za $a=1$ i $b=\sqrt{-\frac{a_{11}}{a_{22}}}$ dobijamo $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ što su zapravo dve prave koje se seku - $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ i $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$.


3. Ako važi da je neki od članova $a_{11}$ i $a_{22}$ jednak nuli
(Ne mogu oba biti jednaka nuli, jer tada nemamo ni jedan kvadratni član, a posmatramo krivu drugog reda kod koje to mora postojati)
Pretpostavimo da je $a_{11}\neq0$, a $a_{22}=0$ (analogno bi bilo i za obrnut slučaj). Ako se vratimo na jednačinu od ranije: $a_{11} \cdot x^2 + a_{22} \cdot y^2 + 2a_{13} \cdot x + 2a_{23}\cdot y + a_{33}=0$, ubacimo ovoga puta $a_{22}=0$ i pored toga na prethodno opisani način eliminišemo član uz $x$ translacijom, ostaje $a_{11} \cdot x^2 + 2a_{23}\cdot y + a_{33}=0$

    *** U slučaju da je $a_{23}\neq0$
Iz poslednje jednačine izvlačenjem člana $2a_{23}$ ispred zagrade imamo: $a_{11} \cdot x^2 + 2a_{23}\cdot (y+ \frac{a_{33}}{2a_{23}})=0$. Zamenom $y$ sa $y+\frac{a_{33}}{2a_{23}}$ (translacija) eliminiše se član $a_{33}$ tj. ostaje $a_{11} \cdot x^2 + 2a_{23}\cdot y=0$. Smenom $p=-\frac{a_{23}}{a_{11}}$ na kraju dobijamo $x^2=2py$ što je jednačina parabole o kojoj će biti više reči u odeljku Parabola

    *** U slučaju da je $a_{23}=0$
Iz jedinačine $a_{11} \cdot x^2 + 2a_{23}\cdot y + a_{33}=0$ se ubacivanjem dobija $a_{11} \cdot x^2 + a_{33}=0$ tj. $x^2=c$ gde je $c=-\frac{a_{33}}{a_{11}}$.
- Za $c>0$ poslednja jednačina predstavlja dve prave: $x=c$ i $x=-c$
- Za $c=0$ poslednja jednačina predstavlja jednu pravu (dvostruka prava): $x=0$
- Za $c<0$ poslednja jednačina predstavlja prazan skup u realnoj pravoj, dok su u kompleksnoj to dve paralelne imaginarne prave.

Na ovaj način je prikazano šta sve može biti kriva drugog reda odnosno koji se skupovi tačaka zadovoljavaju jednačinu: $$f(x, y) = a_{11} \cdot x^2 + 2a_{12} \cdot xy + a_{22} \cdot y^2 + 2a_{13} \cdot x + 2a_{23}\cdot y + a_{33}$$

Klasifikacija krivih drugog reda:
- elipsa
- parabola
- hiperbola
- degenerisani slučajevi (prazan skup, tačka, dvostruka prava, dve paralelne prave i par pravih sa jednom zajedničkom tačkom)

• 1
• 2