Krive drugog reda u projektivnoj ravni
Uvođenjem homogenih koordinata u jednačinu: $$a_{11} \cdot x^2 + 2a_{12} \cdot xy + a_{22} \cdot y^2 + 2a_{13} \cdot x + 2a_{23}\cdot y + a_{33}=0$$
tj. uvođenjem smene $x=\frac{x_1}{x_3}$ i $y=\frac{x_2}{x_3}$ dobijamo jednačinu krive drugog reda u projektivnoj ravni:
$a_{11} \cdot (\frac{x_1}{x_3})^2 + 2a_{12} \cdot \frac{x_1}{x_3} \frac{x_2}{x_3} + a_{22} \cdot (\frac{x_2}{x_3})^2 + 2a_{13} \cdot \frac{x_1}{x_3} + 2a_{23}\cdot \frac{x_2}{x_3} + a_{33}=0$
Kada se obe strane pomnože sa $x_3^2$, za konačni oblik imamo:
Jednačina krive drugog reda u projektivnoj ravni:
$a_{11} \cdot x_1^2 + 2a_{12} \cdot x_1 x_2 + a_{22} \cdot x_2^2 + 2a_{13} \cdot x_1 x_3 + 2a_{23}\cdot x_2 x_3 + a_{33} x_3^2=0$
Zašto je zgodno posmatrati krive drugog reda u projektivnoj ravni?
U projektivnoj geometriji su sve elipse, parabole i hiperbole
ekvivalentne što znači da sva tri objekta možemo posmatrati kao elipsu.
To svojstvo proizilazi iz osobine homogenosti koordinata. Zahvaljujući tome, ukoliko dokažemo neko tvrđenje za
elipsu u projektivnoj ravni, ono će važiti i za parabolu i za hiperbolu.
Takođe, u projektivnoj ravni, sva tri objekta geometrijski možemo predstaviti na jednostavan način kao elipsu.
Detaljnije o tome će biti reči u odeljcima: Elipsa, Parabola, Hiperbola i Degenerisani slučajevi.
Krive drugog reda u projektivnoj ravni:
Kriva drugog reda je skup tačaka u $\mathbb{R}P^2$ koje zadovoljavaju jednačinu: $$\Gamma : a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+a_{33}x_3^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3=0,$$
s obzirom da je $x_1 =\frac{x_1}{x_3}$, $x_2 =\frac{x_2}{x_3}$, gde su $(x_1 : x_2 : x_x3)$ odgovarajuće projektivne koordinate.
Matrica krive drugog reda $G$: $$G=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}=G^T$$
Nedegenerisana kriva je kada je $det$ $G \neq 0$.
Degenerisana kriva je kada je $det$ $G = 0$.
Vektorski zapis: $X^TGX=0$ , $X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$.
| grupa | matrica | ekvivalentni objekti | invarijante |
|---|---|---|---|
| projektivna $PGl_2(\mathbb{R})$ |
$\begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} \end{pmatrix}$ | svi četvorouglovi, ovalne krive 2. reda |
konkurentnost, kolinearnost, dvorazmera, tangentnost, unutrašnjost ovalne krive |
| afina $Aff_2(\mathbb{R})$ |
$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & b_{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ | svi trouglovi, svi paralelogrami, sve elipse, sve hiperbole |
paralelnost, razmera, odnos površina, bekonačno daleka prava, konjugovani dijametri |
| sličnosti $Con_2(\mathbb{R})$ |
$\begin{pmatrix} s \cos\phi & \mp s \sin\phi & v_{1} \\ s \sin\phi & \pm s \cos\phi & v_{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ | slični trouglovi, svi krugovi, sve parabole |
uglovi, odnos dužina |
| izometrije $Isom_2(\mathbb{R})$ |
$\begin{pmatrix} \cos\phi & \mp \sin\phi & v_{1} \\ \sin\phi & \pm \cos\phi & v_{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ | podudarni trouglovi | dužine, površina |
Primer. Elipsa $\stackrel{proj}{\Leftrightarrow}$ hiperbola
Primer. Elipsa $\stackrel{proj}{\Leftrightarrow}$ parabola
Napomena: Rešenje primera se nalazi u odeljku Zadaci (Zadatak 5.).