Dodatak o krivama drugog reda

Naglasimo da se svaka druga elipsa, parabola ili hiperbola preslikavaju u date afinim transformacijama, u kojima se beskonačno daleka prava slika u sebe (tj. ostaje beskonačno daleka). Zato možemo reći da je nedegenerisana konika elipsa, parabola ili hiperbola u zavisnosti od toga da li ima dve, jednu ili nijednu zajedničku tačku sa beskonačno dalekom pravom.
Navedimo u nastavku nekoliko važnih teorema vezanih za nedegenerisane konike projektivne ravni.

Šarlova teorema:
Neka je $O'$ tačka, a $Γ = Γ(A, B, C, D, O)$ ovalna kriva drugog reda u projektivnoj ravni. Tada $$O' \in \Gamma \iff (OA, OB, OC, OD) = (O'A, O'B, O'C, O'D).$$

Paskalova teorema:
Neka su $A_1, . . . , A_6$ tačke nedegenerisane konike projektivne ravni. Neka se parovi pravih $A_1A_2$ i $A_4A_5$, $A_2A_3$ i $A_5A_6$, $A_3A_4$ i $A_6A_1$ redom seku u tačkama $P_1$, $P_2$, $P_3$. Tada su tačke $P_1$, $P_2$ i $P_3$ kolinearne.
Druga formulacija ove teoreme je: Šestotemenik $ABCDEF$ je upisan u ovalnu krivu drugog reda akko su preseci njegovih naspramnih ivica $$AB × DE = P, BC × EF = Q, CD × FA = R$$ kolinearne tačke.

Obrnuta Paskalova teorema:
Neka su $A_1, . . . , A_6$ tačke jedne ravni od kojih su svake tri u opštem položaju. Neka se parovi pravih $A_1A_2$ i $A_4A_5$, $A_2A_3$ i $A_5A_6$, $A_3A_4$ i $A_6A_1$ redom seku u tačkama $P_1$, $P_2$, $P_3$. Ako su tačke $P_1$, $P_2$, $P_3$ kolinearne tada postoji nedegenerisana konika koja sadrži tačke $A_1, . . . , A_6$.

Paposova teorema:
Neka su $AEC$ i $DBF$ dve trojke kolinearnih tačaka. Tada su kolinearne i presečne tačke $$AB × DE = P, BC × EF = Q, CD × F A = R.$$

Brianšonova teorema (teorema dualna Paskalovoj t.):
Neka su tačke $A_1, . . . A_6$ takve da su svake tri od njih u opštem položaju i da nedegenerisana konika dodiruje prave $A_1A_2, A_2A_3, . . . A_6A_1$. Tada su prave $A_1A_4$, $A_2A_5$, $A_3A_6$ konkurentne. Važi i obrnuto: ako za tačke $A_1, . . . A_6$ važi da su $A_1A_4$, $A_2A_5$, $A_3A_6$ konkurentne prave onda postoji konika koja dodiruje prave $A_1A_2, A_2A_3, . . . A_6A_1$.
Druga formulacija ove teoreme je: Šestostranik $abcdef$ je opisan oko ovalne krive drugog reda akko su prave određene naspramnim temenima tog šestostranika $$(a × b)(d × e) = p, (b × c)(e × f) = q, (c × d)(f × a) = r$$ konkurentne.