Diferencijalna jednačina koja razdvaja promenljive

Uvođenje diferencijalne jednačine koja razdvaja promenljive i primeri


Definicija1: Diferencijalna jednačina prvog reda koja razdvaja promenjive može se zapisati u obliku: $$y’=f(x)g(y)$$ Kako bismo došli do rešenja ove jednačine, potrebno je nametnuti uslov da je $g(y)≠0$ (kako bismo izbegli mogućnost deljenja nulom).Naša jednačina tada ima oblik: $$\frac{y'}{g(y)}=f(x)$$ Zatim integralimo postojeću jednačinu: $$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx $$ Odakle nalaženjem primitivnih funkcija $G(y)$ i $F(x)$, takvih da su funkcije $\frac{1}{g(y)}$ i $f(x)$ njihove podintegralne funkcije, dobijamo rešenje diferencijalne jednačine pri uslovu $g(y)≠0$ koje je oblika: $$G(y)=F(x)+c$$ Gde je $c\in C$ konstanta.

Ako postoje realna rešenja $b_1, b_2,…, b_k$ jednačine $g(y)=0$, onda su, pored $G(y)=F(x)+c$, i funkcije $y=b_1, y=b_2,...,y=b_k$ rešenja početne jednačine.

Kada smo se upoznali sa diferencijalnim jednačinama, vreme je da se upoznamo sa time šta sve one mogu. Najpre ćemo pogledati sledeća dva zadatka, kako bismo bolje objasnili diferencijalnu jednačinu koja razdvaja promenljive.

Zadatak 1. Rešiti diferencijalnu jednačinu $y’=x(1+y^2)$.


Primetimo da je pred nama diferencijalna jednačina koja razdvaja promenljive i da $1+y^2$ nema realnih rešenja (i nikada nije jednako $0$), te jednačinu možemo zapisati u sledećem obliku: $$\frac{y’}{1+y^2}=x $$ U ovom slučaju vidimo da je $g(y)=(1+y^2)$, a $f(x)=x$. Kada primenimo formulu koju smo gore izveli, dobićemo: $$arctgy=\frac{x^2}{2} +c$$ Gde je $c\in \mathbb{C}$ konstanta.

Zadatak 2. Rešiti diferencijalnu jednačinu $y’-\frac{2xy}{x^2-1}=0$ koja zadovoljava uslov $y(\sqrt2)=1$.


Diferencijalnu jednačinu možemo zapisati u obliku:$$y'= \frac{2xy}{x^2-1}$$. Uočavamo da, zbog dobre definisanosti funkcije, treba da važi $x≠ -1$ i $x≠ 1$.

Kako u okviru ovako zadate diferencijalne jednačine $g(y)$ može biti jednako $0$, potrebno je razdvojiti je na slučajeve.

U slučaju kada je $g(y)=0$, $y$ će biti jednako $0$, pa će i $y’$ biti jednako $0$, te će jednakost biti trivijalno ispunjena.

U slučaju kada je $g(y)≠0$, jednačinu možemo zapisati u sledećem obliku: $$\frac{y'}{y}= \frac{2x}{x^2-1}$$ Primetimo da je $f(x)=\frac{2x}{x^2-1}$ , pa važi da je: $$ln|y|=ln|x^2-1|+ c_1$$ Dalje transformišemo jednačinu: $$|y|= e^{ln|x^2-1|} + e^{c_1}=e^{c_1 + ln|x^2-1|}$$ Kako bi zapis bio kompaktniji, uvodimo: $e^{c_1}=c_2$, gde je $c_2 \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$. Sređivanjem gornjeg izraza, dobijamo: $$|y|=c_2|x^2-1|$$ Zaključujemo da su moguće vrednosti funkcije $y=-c_2(x^2-1)$ i $y=c_2(x^2-1)$. Kako je $c_2 \in \mathbb{R}\backslash\{0\}$, možemo konstatovati da su sva rešenja diferencijalne jednačine u slučaju kada je $g(y)≠0$ opisana jednačinom: $y=c_2(x^2-1)$.

Kako je ideja da pronađemo sva rešenja diferencijalne jednačine, namećemo uslov da $c_2 \in \mathbb{R}$ i objedinjujemo slučajeve $g(y)=0$ i $g(y)≠0$, tj. sva moguća rešenja jednačine.

Dakle, opšte rešenje tražene diferencijalne jednačine je: $y=c_2(x^2-1)$, gde $c_2 \in \mathbb{R}$.

Kada uzmemo u obzir početni uslov $y(\sqrt2)=1$ i ubacimo ga u jednačinu, dobijamo: $$1=c_2(2-1)$$ Dakle, $c_2=1$, pa je partikularno rešenje diferencijalne jednačine, pri uslovu $y(\sqrt2)=1$, definisano na intervalu $(1,\infty)$ jednako:$$y=x^2-1$$.