|
Zadatak 1. U početnom trenutku u krvi se nalazilo $15$ miligrama hemomicina. Odrediti količinu leka u krvi u trenutku $t$. Konstanta eliminacije leka je $10$. |
$$ q(3)=q_0e^{-3k_{10}}=59,74 \quad \Rightarrow \quad q_0=\frac{59,74}{e^{-3k_{10}}}$$
$$ q(5)=q_0e^{-5k_{10}}=53,53 \quad \Rightarrow \quad q_0=\frac{53,53}{e^{-5k_{10}}}$$
Kada izjednačimo dobijene vrednosti za $q_0$, dobijamo:
$$\frac{59,74}{e^{-3k_{10}}}=\frac{53,53}{e^{-5k_{10}}}$$
Iz ove jednačine možemo izračunati vrednost konstante eliminacije na sledeći način:
$$e^{-5k_{10}+3k_{10}}=\frac{53,53}{59,74} \quad \Rightarrow \quad e^{-2k_{10}}=0,89 $$
Odavde dobijamo da je vrednost konstante eliminacije $k_{10}=\frac{-0,11}{-2}=0,05$. |
|---|
Primene u Farmaciji
Model intravenskog ubrizgavanja doze leka
Farmacija povezuje medicinske i hemijske nauke, i njen cilj je da obezbedi bezbedno i efikasno korišćenje lekovitih sredstava. Kako bi se lekovi što efekasnije koristili, farmaceutska industrija koristi matematičke modele u cilju opisivanja njihovog načina delovanja, procesa lečenja od bolesti, kao i predviđanja iste.
U farmakokinetici se, između ostalih matematičkih modela, koristi i jednoparametarski otvoreni model sa intravenskim ubrizgavanjem doze leka. On se može predstaviti jednačinom:
$$ \frac{dq}{dt}= -k_{10}q(t), \quad q(0)=q_0 $$
Gde $\frac{dq}{dt}$ predstavlja promenu količine leka u krvi po jedinici vremena, broj $k_{10}$ ("ka jedan-nula") konstantu eliminacije leka, $q_0$ početnu dozu leka i $q(t)$ količinu leka u krvi u trenutku $t$. Znak "-" se javlja jer se sa vremenom količina aplikovanog leka u krvi smanjuje.
Odredićemo količinu leka u organizmu u proizvoljnom trenutku nakon aplikacije.
Ukoliko je $q(t)=0$, rešenje će trivijalno zadovoljavati jednačinu, ali ovaj slučaj nije od preteranog interesa jer implicira da u organizmu nema leka.
Ukoliko je $q(t)≠0$, lek se nalazi u organizmu ispitanika, možemo primetiti da je pred nama diferencijalna jednačina koja razdvaja promenljive:
$$ \frac{q'(t)}{q(t)}= -k_{10} $$
Integracijom ove jednačine, dobijamo:
$$\int \frac{q'(t)}{q(t)}dt=\int -k_{10} dt $$
Možemo uvesti smenu $u=q(t)$, pa je $du=q'(t)dt$:
$$\int \frac{du}{u}=\int -k_{10} dt \quad \Rightarrow \quad ln|u|= -k_{10}t+c_1, c_1\in \mathbb{R} \quad \Rightarrow \quad |u|=e^{-k_{10}t+c_1} $$
Ukoliko $e^{c_1}$ zapišemo u obliku konstante $c\in \mathbb{R}$ i vratimo smenu, dobijamo jednačinu oblika:
$$ q(t)=c e^{-k_{10}}t $$
Kako je početna doza leka $q(0)=q_0$, količinu leka u krvi u trenutku $t$ možemo predstaviti jednačinom:
$$ q(t)=q_0 e^{-k_{10}t} $$
Ukoliko odredimo konstantu eliminacije leka $k_{10}$, ovu jednačinu možemo koristiti za određivanje tražene količine leka.
Neka je $V$ poznati volumen distribucije leka za datog pacijenta. Kada poslednju jednačinu podelimo sa $V$, dobijamo:
$$\frac{ q(t)}{V}=\frac{q_0}{V} e^{-k_{10}t} $$
Neka je $C=\frac{ q(t)}{V}$ i $C_0=\frac{q_0}{V} e^{-k_{10}t}$. Tada jednačinu možemo zapisati u obliku linearne funkcije:
$$C=C_0e^{-k_{10}t} \quad \Rightarrow \quad lnC=lnC_0-k_{10}t $$
Praćenjem vrednosti broja $C$ u nekom vremenskom intervalu nalazi se najbolja linearna aproksimacija dobijenih parova vrednosti za $t$ i $C$. Približna vrednost konstante $−k_{10}$ je koeficijent pravca dobijene prave.
Znajući $k_{10}$ može se izračunati i poluvreme eliminacije $t_{0,5}$ leka, tj. vreme za koje važi $C=\frac{C_0}{2}$:
$$ln\frac{C_0}{2}=lnC_0-k_{10}t \quad \Rightarrow \quad t_{0.5}=\frac{ln2}{k_{10}}$$