Primene u Fizici

Prvi i Drugi Njutnov zakon

Nauka koja se, možda najviše, oslanja na diferencijalne jednačine je fizika. Fizičke veličine, zakoni i formule koji se svakodnevno koriste na časovima fizike mogu se napisati pomoću diferencijalnih jednačina. Ovom prilikom ćemo predstaviti jednu od mnogobrojnih primena diferencijalnih jednačina u fizici, tj. I i II Njutnov zakon.

II Njutnov zakon: Sila je jednaka proizvodu mase i ubrzanja, tj. $m\vec{a}=\vec{F}$.

Kako je kretanje čestice zapravo određivanje zavisnosti koordinata kojima opisujemo njen položaj od vremena, cilj nam je da odredimo jednačinu po kojoj se kretanje odvija.

Ako tačka čije kretanje posmatramo nije izolovana, ona ima interakciju sa drugim telima i njen impuls $\vec{p}=m \vec{v}$ se menja tokom vremena. Ovu promenu možemo opisati jednačinom: $\vec{p}=\frac{d\vec{p}}{dt}$.

Interakcija zavisi od položaja posmatrane čestice u odnosu na druga tela, brzine čestice, te uvodimo funkciju $\vec{F}$ koja predstavlja meru te interakcije: $$ \frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F} $$ Kao što se može primetiti, brzina promene impulsa jednaka je sili koja deluje na telo. Ova jednačina predstavlja matematički izraz II Njutnovog zakona i naziva se jednačina kretanja tela, tj. osnovna jednačina dinamike.

Kada jednačinu $\vec{p}=m \vec{v}$ diferenciramo po vremenu, tj. po promenljivoj $t$, dobijamo: $$ \frac{dm}{dt}v + m\frac{d\vec{v}}{dt}=c $$ Za tela kod kojih masa ne zavisi od vremena, prvi sabirak u prethodnom izrazu je jednak $0$, pa je naša jednačina oblika: $$m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}$$ Kako izraz $\frac{d\vec{v}}{dt}$ predstavlja promenu brzine u jedinici vremena, možemo primetiti da ovakva definicija odgovara i definciji ubrzanja $\vec{a}$, pa dobijamo II Njutnov zakon u obliku u kome smo ga inicijalno formulisali: $$m\vec{a}=\vec{F}$$
I Njutnov zakon: Svako telo se nalazi u stanju mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja, sve dok ga dejstvo drugih tela ne primora da promeni to stanje.

Pošto I Njutnov zakon opisuje stanje tela u situaciji kada na njega ne deluje nijedna sila, možemo ga izvesti korišćenjem II Njutnovog zakona i nametanjem uslova da je sila koja deluje na telo jednaka nuli, tj. $\vec{F}=0$.

- $v=\frac{s}{t}$ - brzina predstavlja promenu puta po jedinici vremena, tj. $v=\frac{ds}{dt}$.

- $a=\frac{v}{t}$ - ubrzanje predstavlja promenu brzine u jedinici vremena, tj. $a=\frac{dv}{dt}$.

Ovako definisane veličine možemo napisati kao funkcije od $t$, tako da $y(t)$ predstavlja položaj u kome se telo nalazi u trenutku $t$, $y'(t)$ brzinu tela u trenutku $t$, a $y''(t)$ je ubrzanje tela u trenutku $t$.

Sada možemo zapisati II Njutnov zakon u situaciji kada je $\vec{F}=0$ na sledeći način: $$ my''(t)=0 $$ Kako masa tela nije jednaka nuli, zaključujemo da je: $ y''(t)=0 $. Integracijom ove jednačine, dobijamo: $$\int y''(t)dt=\int 0 dt $$ $$ y'(t)+c=0 $$ Nakon što prebacimo konstantu $c$ na drugu stranu znaka jednakosti i uvedemo smenu $c_1 = -c$ radi lakšeg zapisa, možemo ponovo integraliti diferencijalnu jednačinu: $$ \int y'(t)dt=\int c_1 dt $$ Dobijamo jednačinu položaja čestice u trenutku $t$ u obliku: $$ y(t)=c_1t+ d $$ Dakle, možemo zaključiti da se u slučaju odsustva sile koja deluje na telo, ono kreće ravnomerno pravolinijski.

Zadatak 1. Brod težine $Q_b$ sa posadom težine $Q_p$ kreće se pravolinijski po površini mirne vode početnom brzinom $v_0$.

a) Odrediti jednačinu kretanja broda, ako je otpor vode proporcionalan brzini.

Neka je $v = v(t)$ brzina broda u trenutku $t$ i neka je $F_{ov}$ sila otpora vode. Kako je otpor vode proporcionalan brzini, sledi da postoji neka konstanta $k>0$ takva da je: $$F_{ov} = kv$$ Konstanta $k$ je koeficijent proporcionalnosti. Sada možemo primeniti II Njutnov zakon: $ma=F$.

Pošto sila otpora vode ima suprotni smer od smera kretanja broda, možemo zaključiti da je: $$F=-F_{ov}=-kv$$ Težinu tela računamo po formuli $Q=mg$, gde je $g$ gravitaciona konstanta, te možemo primetiti da je masa broda $m_b=\frac{Q_b}{g}$, a masa posade $m_p=\frac{Q_p}{g}$.

Ukupna masa jednaka je zbiru mase broda i mase posade: $$ m= m_b+ m_p=\frac{Q_b}{g} + \frac{Q_p}{g} $$ Kako ubrzanje, definisano kao $a=\frac{dv}{dt}$, predstavlja prvi izvod brzine po vremenu, možemo ga zapisati kao: $a=v'(t)$.

Pretpostavimo sada da je brzina broda različita od nule, tj. $v(t)≠ 0$ i primenimo II Njutnov zakon: $$ v'(t) (\frac{Q_b}{g} + \frac{Q_p}{g}) = -kv(t) $$ Primetimo da je u pitanju diferencijalna jednačina koja razdvaja promenljive, pa izraz možemo napisati u sledećem obliku: $$\frac{v'(t)}{v(t)} = \frac{-k}{\frac{Q_b}{g} + \frac{Q_p}{g}} $$ Sada integralimo diferencijalnu jednačinu: $$ \int \frac{v'(t)}{v(t)}dt = \int \frac{-k}{\frac{Q_b}{g} + \frac{Q_p}{g}} dt$$ Možemo uvesti smenu $u=v(t)$, pa je $du=v'(t)dt$: $$\int \frac{du}{u}dt = \int \frac{-k}{\frac{Q_b}{g} + \frac{Q_p}{g}} dt $$ Dobijamo rešenje diferencijalne jednačine: $$ln|u| = \frac{-k}{\frac{Q_b}{g} + \frac{Q_p}{g}}t+ c_1 \quad \Rightarrow \quad |u|=e^{\frac{-k}{\frac{Q_b}{g} + \frac{Q_p}{g}}t} e^{c_1} $$ Ukoliko $e^{c_1}$ zapišemo u obliku konstante $c\in \mathbb{R}$ i vratimo smenu, dobijamo jednačinu oblika: $$ v(t)=c e^{\frac{-k}{\frac{Q_b}{g} + \frac{Q_p}{g}}t} $$ Kako je početna brzina broda $v(0)=v_0$, brzinu broda u trenutku $t$ možemo predstaviti jednačinom: $$ v(t)=v_0 e^{\frac{-k}{\frac{Q_b}{g} + \frac{Q_p}{g}}t} $$ b) Šta bi se desilo da je sila otpora jednaka nuli?

Ukoliko je sila otpora jednaka $0$, II Njutnov zakon je oblika: $$ ma=0 $$ Kada upotrebimo definiciju ubrzanja koju smo uveli u delu (a), zaključujemo da je: $$ v'(t) = 0 $$ Integraljenjem ove jednačine, dobijamo: $$ v(t)=c $$ Dakle, u situaciji kada je sila otpora $F=0$, brzina je konstantna, što se slaže sa I Njutnovim zakonom.