Teorijska osnova

Pre nego što formalno uvedemo pojam diferencijalnih jednačina potrebno nam je poznavanje termina primitivne funkcije.

Definicija1: Funkcija $F$ je primitivna funkcija za funkciju $f$ na nekom intervalu $(a,b)$ ako je $F$ diferencijabilna na tom intervalu i za svako $x$ koje pripada $(a,b)$ važi da je: $F’(x)=f(x)$.

Dakle, kada nam je zadatak da pronađemo primitivnu funkciju date funkcije $f=f(x)$ na intervalu $(a,b)$, tražimo funkciju $F=F(x)$ koja je diferencijabilna na intervalu $(a,b)$ i čiji je izvod jednak datoj funkciji $f$ na tom intervalu. Ovaj problem možemo ilustrovati sledećom jednačinom: $$ F’(x)=f(x) $$ Ovde $F$ predstavlja nepoznatu funkciju koju tražimo kao rešenje prethodne jednačine. Kako je u jednačini nepoznata funkcija $F$ data u obliku svog izvoda, ova jednačina se naziva diferencijalna jednačina. Ovu diskusiju možemo uopštiti sledećom definicijom.

Definicija2: Diferencijalna jednačina je jednačina koja sadrži nezavisnu promenljivu, nepoznatu funkciju nezavisne promenljive i njene izvode. Red diferencijalne jednačine je najviši red izvoda nepoznate funkcije koji učestvuje u jednačini.

Po konvenciji nepoznatu funkciju nezavisne promenljive, koju smo prethodno označavali sa $F(x)$, označavaćemo sa $y(x)$, tj., radi jednostavnijeg zapisa, pisaćemo samo $y$. Stoga, diferencijalna jednačina prvog reda može se zapisati na sledeći način: $$ y’=f(x) $$ Analogno definišemo diferencijalne jednačine viših redova:
- Primer diferencijalne jednačine $II$ reda: $y’’-y=0$
- Primer diferencijalne jednačine $III$ reda: $y’’’-4xy’+3x=0$
U opštem slučaju diferencijalnu jednačinu zapisujemo kao: $F(x, y, y’,..., y ^{(n)})=0$

Definicija3: Ako je funkcija $\phi(x)$ $n$ puta diferencijabilna funkcija na intervalu $(a,b)$ i identički zadovoljava diferencijanu jednačinu $F(x, y, y’,..., y^{(n)})=0$ na intervalu $(a,b)$, kažemo da je funkcija $\phi$ rešenje diferencijalne jednačine $F(x, y, y’,..., y ^{(n)})=0$ na intervalu $(a,b)$.

Rešavanje diferencijalne jednačine podrazumeva pronalaženje svih njenih rešenja.

Definicija4: Familija funkcija $y=\phi(x, c)$, gde je $c$ konstanta, naziva se opštim rešenjem jednačine $y’=f(x,y)$ u oblasti $S \times T$ , ako za svaku tačku $(a, b)\in S\times T$ jednačina $b=\phi(a, c)$, gde je $c$ slobodna promenljiva, ima jedinstveno rešenje $c_0$ tako da funkcija $y=\phi(x, c_0)$ je rešenje jednačine $y’=f(x,y)$ koje zadovoljava početni uslov $y(a)=b$.

Definicija5: Svako rešenje jednačine $y’=f(x, y)$ dobijeno od opšteg rešenja tako što se parametru $c$ daje konkretna vrednost $c_0$ je partikularno rešenje.

U nastavku ćemo teorijski uvesti i detaljnije obraditi diferencijalnu jednačinu koja razdvaja promenljive i pokazati njenu primenu u realnom životu.