Primene u Arheologiji

Zakon radioaktivnog raspada

Važno otkriće u okviru radioaktivnosti prirodnih elemenata je da se različiti elementi i izotopi istog elementa ne raspadaju istom brzinom.

Do ovog otkrića došao je Vilard Frenk Libi 1960. godine i na osnovu rada na gorepomenutu temu dobio Nobelovu nagradu za hemiju. On je, istraživajući izotop ugljenika, primetio da se, na osnovu njega, može ustanoviti starost stena i fosila. Za ovu pojavu zadužen je ugljenikov izotop $^{14}C$. Naime, njegova koncetracija u organizmu tokom života je konstantna, a nakon smrti kreće da se raspada. U zavisnosti od količine raspadnutih izotopa $^{14}C$ možemo utvrditi starost fosila.

Dakle, zakon radioaktivnog raspada govori o tome koliki broj atoma izotopa se neće raspasti nakon vremena $t$ od početka posmatranja. On se može napisati u diferencijalnom obliku: $$\frac{dN}{dt}=-\lambda N(t), \quad N(0)=N_0$$ Broj $\lambda < 0$ je konstanta raspada i predstavlja verovatnoću raspada jezdra u jedinici vremena. Njena vrednost je negativna, jer broj neraspadnutih jezgara opada tokom vremena. $N(t)$ je broj neraspadnutih jezgra u trenutku $t$, dok je $N(0)$ broj neraspadnutih jezgara u početnom trenutku $t=0$.

Primetimo da je pred nama diferencijalna jednačina koja razdvaja promenljive, pa izraz možemo napisati u sledećem obliku: $$\frac{N'(t)}{N(t)}=-\lambda$$ Integracijom ove jednačine, dobijamo: $$\int \frac{N'(t)dt}{N(t)} =\int -\lambda dt $$ Možemo uvesti smenu $N(t)=v$, pa je $N'(t)dt=dv$: $$\int \frac{dv}{v} =\int -\lambda dt $$ Dobijamo rešenje diferencijalne jednačine: $$ ln|v| = \lambda t+ c dt, c\in \mathbb{R} \quad \Rightarrow \quad v=ce^{-\lambda t} $$ Kada vratimo smenu, dobijena diferencijalna jednačina je oblika: $$N(t)=ce^{ct} $$ Kako je broj neraspadnutih čestica u početnom trenutku $N(0)=N_0$, diferencijalna jednačina koja predstavlja zavisnost broja neraspadnutih jezgara $N$ od trenutka $t$ je: $$N(t)=N_0e^{-\lambda t} $$ Period vremena nakon kog će broj raspadnutih jezgara $N$ biti jednak polovini broja neraspadnutih jezgara u početnom trenutku, tj. $N(t)=\frac{N_0}{2}$ naziva se vreme (period) poluraspada i obeležava se $T_{1/2}$. Ukoliko u jednačinu ubacimo $N(t)=\frac{N_0}{2}$ za $t=T_{1/2}$, dobijamo: $$\frac{N_0}{2}=N_0e^{-\lambda T_{1/2}}$$ Daljim transformacijama dobijamo $\lambda=\frac{ln2}{T_{1/2}}$ i zakon radiokativnog raspada: $$N(t)=N_02^{\frac{-t}{T_{1/2}}}$$

Zadatak 1. U početnom trenutku broj neraspadnutih jezgara izotopa radijuma iznosi $R_0$. Odrediti broj neraspadnutih jezgara izotopa radijuma u trenutku $t$. Vreme poluraspada ovog izotopa je $1600$ godina.

Poznati podaci: $N(0)=R_0$ i $T_{1/2}=1600$.

Dakle, broj neraspadnutih jezgara izotopa radijuma u trenutku $t$ data je sledećom jednačinom: $$N(t)=R_0 2^{\frac{-t}{1600}}$$
Zadatak 2. Pronađen je novi lokalitet u Južnoj Americi. Naučnik koji vodi iskopavanja ubeđen je da je našao jednu od prvih naseobina na tom kontinentu. Kako bi utvrdili starost naseobine, naučnici su rešili da u oruđu koje su pronašli testiraju prisutnost ugljenikovog izotopa $^{14}C$. Utvrdili su da činija, čiju su starost ispitivali, sadrži $60\%$ ovog izotopa. Vreme poluraspada izotopa $^{14}C$ je $5730$ godina. Koliko je stara civilizacija koju su pronašli?

Poznati podaci: $N(0)=N_0$ i $T_{1/2}=5730$.

Neka $t_1$ predstavlja starost činije, tj. broj godina koje su prošle do trenutka testiranja. Na osnovu uslova zadatka, imamo: $$N(t_1)=0,6N_0$$ Kao što je već poznato, $N(t_1)$ možemo zapisati kao: $N(t_1)= N_0 2^{\frac{-t_1}{5730}} $.

Kada izjednačimo ove dve jednačine, imamo: $$ 0,6N_0=N_0 2^{\frac{-t_1}{5730}} $$ Rešavanjem jednačine, dobijamo: $$ 0,6= 2^{\frac{-t_1}{5730}} \Rightarrow log_2 0,6= \frac{-t_1}{5730} \Rightarrow t_1=4183 $$ Dakle, civilizacija koju su pronašli stara je $t_1=4183$ godina.