Primene u Medicini

Njutnov zakon hlađenja

Kao što smo već videli u okviru odeljka namenjenom fizici, veliki broj zakona koje je Isak Njutn postavio može se zapisati pomoću diferencijalnih jednačina. U ovom odeljku fokusiraćemo se na Njutnov zakon hlađenja koji svoju primenu pronalazi u grani medicine koja se naziva patologija. On se koristi u cilju utvrđivanja vremena smrti pacijenta i daje precizne informacije o istom.

Ukoliko se telo koje ima temperaturu $T_0$ u trenutku $t_0=0$ nalazi u sredini čija je temperatura $\tau$, gde je $\tau < T_0$, zanima nas po kom zakonu će se telo hladiti u zavisnosti od vremena $t$, ukoliko je poznato da je brzina hlađenja proporcionalna razlici temperature tela i sredine koja ga okružuje.

Kako se temperatura tela $T$ smanjuje kroz vreme, možemo zaključiti da je koeficijent proporcionalnosti $k$ negativan.

Dakle, matematički model ovog procesa može se predstaviti preko sledeće diferencijalne jednačine: $$ \frac{dT}{dt}=-k(T-\tau) $$ Pošto smo pretpostavili da temperatura tela nikada nije jednaka temperaturi sredine, tj. $\tau < T_0$, možemo primetiti da je pred nama diferencijalna jednačina koja razdvaja promenljive: $$ \frac{dT}{dt(T-\tau)}=-k $$ Integracijom ove jednačine, dobijamo: $$ \int\frac{T'(t)dt}{(T-\tau)}=\int -k dt $$ Možemo uvesti smenu $u=T(t)$, pa je $du=T'(t)dt$: $$\int\frac{du}{(u-\tau)}=\int -k dt \quad \Rightarrow \quad ln|u-\tau|=-kt+c_1, c_1\in \mathbb{R} \quad \Rightarrow \quad |u-\tau|=e^{-kt+c_1} $$ Ukoliko $e^{c_1}$ zapišemo u obliku konstante $c\in \mathbb{R}$ i vratimo smenu, dobijamo jednačinu oblika: $$ T(t)=c e^{-kt} + \tau $$ Kako je temperatura tela u početnom trenutku $T(0)=T_0$, konstanta $c$ biće oblika $c=T_0-\tau$, a diferencijalna jednačina koja predstavlja zavisnost temperature tela $T$ od trenutka $t$ je: $$T(t)=(T_0-\tau)e^{-kt} + \tau $$ Ovom jednačinom definisan je Njutnov zakon hlađenja.

Zadatak 1. Gospođa Klara pije čaj temperature $65^{\circ}C$. Za ekstrahovanje koristi vodu temperature $95^{\circ}C$. U trenutku presipanja vode u šolju, tj. $t_0=0$, temperatura prostorije je $20^{\circ}C$. Nakon jednog minuta čaj ima temperaturu $80^{\circ}C$. Koliko vremena je potrebno da prođe da bi temperatura čaja bila po ukusu gospođe Klare?

Poznati podaci: $T_0=95^{\circ}C$ i $\tau=20^{\circ}C$.

Takođe, poznata nam je i informacija da je temperatura čaja nakon $t_1=1$ bila jednaka $T(1)=80^{\circ}C$. Kada ove podatke ubacimo u Njutnov zakon hlađenja, dobijamo: $$T(1)=(95^{\circ}C-20^{\circ}C)e^{-1k}+20^{\circ}C=80^{\circ}C$$ Iz ove jednačine možemo izračunati koeficijent hlađenja $k$: $$e^{-k}=\frac{60^{\circ}C}{75^{\circ}C} \Rightarrow k=-ln\frac{60}{75} \Rightarrow k = 0,223$$ Pošto nam je sada poznat koeficijent hlađenja $k$, možemo izračunati vreme $t$ za koje će temperatura čaja biti $65^{\circ}C$: $$65^{\circ}C=20^{\circ}C+(95^{\circ}C-20^{\circ}C)e ^{-0,223t}$$ Rešavanjem jednačine dobijamo: $$e ^{−0,223t}=\frac{45^{\circ}C}{75^{\circ}C} \Rightarrow t = 2,29$$ Dakle, da bi temperatura čaja iznosila $65^{\circ}C$, potrebno je da prođe $2,29$ minuta.

Zadatak 2. U hotelskoj sobi u Njujorku pronađeno je telo poznate glumice. Prilikom policijskog uviđaja, forenzičari su izmerili temperaturu tela bila je $28^{\circ}C$. Temperatura vazduha u sobi je bila $24^{\circ}C$. Policija je sat vremena uzimala uzorke sa tela i iz sobe, te ponovo izmerila temperaturu tela koja je iznosila $26^{\circ}C$. Koliko vremena je prošlo od trenutka smrti poznate glumice do dolaska policije na mesto zločina?

Poznati podaci: $T_0=28^{\circ}C$ i $\tau=24^{\circ}C$.

Takođe, poznata nam je i informacija da je temperatura tela nakon $t_1=1$ bila jednaka $T(1)=26^{\circ}C$. Kada ove podatke ubacimo u Njutnov zakon hlađenja, dobijamo: $$T(1)=(28^{\circ}C-24^{\circ}C)e^{-1k}+24^{\circ}C=26^{\circ}C$$ Iz ove jednačine možemo izračunati koeficijent hlađenja $k$: $$e^{-k}=\frac{26^{\circ}C-24^{\circ}C}{28^{\circ}C-24^{\circ}C} \Rightarrow k=ln2$$ Ukoliko pretpostavimo da je normalna temperatura tela $37^{\circ}C$, možemo izračunati vreme $t$ koje je prošlo od trenutka smrti glumice: $$37^{\circ}C=24^{\circ}C+(26^{\circ}C-24^{\circ}C)e ^{ln2 \cdot t}$$ Rešavanjem jednačine dobijamo: $$e ^{ln2 \cdot t}=\frac{13^{\circ}C}{2^{\circ}C} \Rightarrow t = - 1.7h$$ Dakle, od trenutka smrti glumice do dolaska policije prošlo je $1.7h$, tj. $1$ sat i $42$ minuta.