Стефан Малбашић,
Универзитет у Београду, Математички факултет

Увод.

Пројективна геометрија проистекла је из практичног проблема геометријске (линеарне) перспективе у умјетности, а која подразумијева цртање илузије просторне дужине, онако како то реално видимо. Геометријска перспектива заснива се на природном закону да се удаљавањем од посматрача ликови смањују сразмјерно удаљености. И математичари и умјетници били су заинтересовани за принципе ове технике, те су почели да изучавају основе које стоје иза њих. Умјетници су били заинтересовани за паралелне праве које конвергирају и сијеку се у недогледу, док је математичаре занимала теорија која ће да обухвати те принципе.

Замислимо да се налазимо да средини улице дуж које се с обје стране налазе зграде и ред правилно распоређених уличних свјетиљки.

Објекти који су нам у стварности ближе, на слици су приказани већима од оних који одговарају у стварности даљим објектима. Дакле, чини се како се дубина добила одређеним скалирањем дужине и ширине. Такође, на слици се као и у стварности чини као да ће се сви јако далеки објекти у одређеном тренутку спојити у једну (бесконачно далеку) тачку. Знамо да је то у стварности немогуће јер су улице и спратови зграда увијек међусобно паралелни. Међутим, размотримо ли мало боље слику уочићемо како се правци који представљају спратове зграда и њима паралелни правци улице сијеку у средишњој тачки слике. Означимо те правце жутом бојом.
Чини се као да се перспективним приказом нарушава паралелност стварног свијета. То није сасвим тачно! Знамо да су оквири врата и прозора правоугаоног облика па су наспрамни парови страница међусобно паралелни. Пар страница који је паралелан са улицом може се на слици приказати помоћу два одговарајућа жута правца. Други пар страница је очигледно нормалан на под. Означимо ли на слици црвеном бојом правце који одговарају нормалама на под, очигледно је како у овом случају паралелност није нарушена, али углови јесу. У стварности је класа црвених праваца одређена вектором нормалним на вектор класе жутих праваца. Видимо на слици да не само да ти правци нису нормални, већ се и углови које жути правци затварају с неким од црвених праваца разликују. Дакле, метрика није сачувана.

Из наведеног може се закључити да перспектива не поштује аксиоме еуклидске геометрије. На темељу ових разматрања изграђена је "нова" геометрија - пројективна. Пројективна геометрија се може чинити необичном с обзиром да одудара од еуклидске која нам је усађена од раних дана и као таква се чини природном. Међутим, пројективни простор допушта пуно више слободе што у одређеним ситуацијама може бити изузетно практично.